ВИДЕО УРОК
Правило суми і правило добутку в комбінаториці
називають основними правилами комбінаторики.
Правило
суми (правило
<<ИЛИ>>).
Якщо деякий
об'єкт А можна вибрати m способами, а об'єкт В – іншими n способами, причому вибори об'єктів А і В несумісні, то
вибір "А або В" можна виконати m + n способами.
Або:
Якщо дві дії А і В взаємно виключають
один одного, причому дія А можна виконати m способами, а
В – n способами, то виконати одно будь-яке з цих дій (або А, або В) можна m + n способами.
Іншими словами:
Якщо в умові завдання звучить "ИЛИ", то вибираємо правило суми
Закон суми використовується тоді, коли треба вибрати тільки один елемент.
Кортеж – кінцева
послідовність (що допускає повторення)
елементів якої-небудь великої кількості.
ЗАДАЧА:
Учень
повинен виконати практичну роботу по математиці. Йому запропонували на
вибір 17 тем по алгебрі і 13 тем по геометрії. Скількома способами він
може вибрати одну тему для практичної роботи ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
За правилом суми отримаємо:
17 + 13 =
30.
ВІДПОВІДЬ:
30 варіантів.
ЗАДАЧА:
Йдучи
на змагання, спортсмен одягає або майку, або футболку.Скільки варіантів вибору
майки або футболки у нього є, якщо його мама попрала 3 майки і
4
футболки.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Користуємося
правилом суми.
Припустимо,
що в шафі на одній полиці лежить 3
майки, а на іншій – 4 футболки. Довільно з якої-небудь полиці
беремо тільки одну річ. З першої полиці узяти одну річ можна тільки трьома
різними способами, а з іншої – чотирма способами. Тоді узяти одну яку-небудь з
названих речей можна
3 + 4 = 7
різними способами.
ВІДПОВІДЬ:
7 варіантів.
ЗАДАЧА:
Нехай
в одному ящику є m
кульок, а в другому ящику – n
кульок.
Скількома способами можна витягнути одну кульку з одного з цих ящиків ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Очевидно,
що ОДНУ кульку можна дістати
m + n
способами.
ВІДПОВІДЬ: m + n
Правило добутку (правило <<І>>).
Цей метод рішення комбінаторних завдань застосовується,
коли не вимагається перераховувати усі можливі варіанти, а треба відповісти на
питання – скільки їх існує.
Щоб знайти кількість
усіх комбінацій з n елементів, треба помножити всі натуральні
числа, починаючи з числа n і закінчуючи числом 1.
Якщо деякий
об'єкт А можна вибрати m способами, і після кожного такого вибору
інший об'єкт В можна вибрати (незалежно від вибору
об'єкту А) n способами, то пари
об'єктів А і В можна вибрати
m × n способами.
Або:
Нехай вимагається
виконати послідовно k дій. Якщо першу дію
можна виконати n1
способами, друга дія n2
способами, третє – n3 способами і так до k – і дії, яку можна виконати nk способами, то все k дій разом можуть бути виконані:
N = n1 × n2 ×…× nk
Правило добутку формулюють також в іншій формі:
Якщо при складанні комбінації з двох елементів виду (a, b)
перший елемент можна вибрати n способами, а потім другий – m способами, то різних комбінацій
виду (a, b)
можна вибрати m × n способами.
Іншими словами:
Якщо в умові завдання
звучить "И", то вибираємо правило добутку
ЗАДАЧА:
У
фінал змагань зі стрибків у довжину вийшли Олег, Ігор, Максим і Дмитро.
Скількома способами можуть розподілитися перші
4
місця у цих змаганнях ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Перше
місце може вибороти один із чотирьох хлопчиків. Тоді друге місце – один із
трьох хлопчиків, що залишились, трете місце – один із двох хлопчиків, що
залишились, а четверте – лише один хлопчик. Отже, всіх можливих варіантів:
4 × 3 ×
2 × 1 = 24.
ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:
Цех
по виготовленню головних уборів начал випуск трьох нових моделей, для яких був
закуплений фетр чотирьох кольорів.Скільки видів різних капелюхів може
виготовити цех ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Для
кожної з трьох моделей можна використати кожного з чотирьох кольорів. За
правилом множення кількість різних видів буде:
3 × 4 = 12.
Для ілюстрації можна скласти таблицю:ВІДПОВІДЬ: 12.
ЗАДАЧА:
Палітурник
повинен переплести 12 різних
книг в червоний, зелений і коричневі палітурки. Скількома способами він може це
зробити ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Є 12 книг і
3
кольори, означає за правилом добутку можливо
12 × 3 = 36
варіантів
палітурки.
ВІДПОВІДЬ: 36.
ЗАДАЧА:
У
магазині <<Все для
чаю>> є 6 різних чашок і 4 різні блюдця. Скільки варіантів чашки і
блюдця можна купити ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Чашку
ми можемо вибрати 6-у способами, а блюдце 4-а способами. Оскільки нам потрібно купити парі
чашку і блюдце, то це можна зробити
6 × 4 = 24
способами
(за правилом добутку).
ВІДПОВІДЬ: 24.
ЗАДАЧА:
Скільки
чисел можна скласти з цифр
0, 1,
2, 3, 4,
5, 6, 7,
8, 9,
якщо
число має бути двозначним ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Можна
скласти 90 чисел –
першу цифру числа можемо вибрати 9
способами, оскільки число не може розпочинатися з нуля. Другу цифру
числа можемо вибрати 10 способами, оскільки у нас є 10 цифр. Разом виходить:
9 ∙ 10 = 90.
ВІДПОВІДЬ: 90
ЗАДАЧА:
Скільки
тризначних чисел можна записати за допомогою цифр
0, 3,
5, 7, 8, 9 ?
Цифри
в записі чисел не повторюються.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
На
першому місці повинен стояти запис будь-якої з цифр
3, 5,
7, 8, 9 – всього 5 способів.
На
другому – знову яка-небудь з 5
(серед них
може вже бути цифра 0).
На
третьому будь-яка з 4, що залишилися після запису перших
двох цифр числа.
Всього
5 ∙ 5 ∙ 4 = 100
різних
способів тризначних чисел.
ВІДПОВІДЬ: 100
ЗАДАЧА:
Прямого
повідомлення між містами А
і В немає. Турист може потрапити з А у В
або через місто С, або через місто D.
З А в С є два різні шляхи, а з А до D – три. Із С
до
В
можна потрапити трьома різними дорогами, а з D до В – двома. Скільки різних варіантів
вибору шляху з А
до В
є у туриста ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Робимо графічний малюнок:Якщо
йти з А у В
через С, то шлях можна вибрати2 ∙ 3 = 6
способами.
Якщо
йти з А у В
через D, то для вибору шляху є
3 ∙ 2 = 6
способів.
Тоді
різних варіантів вибору шляху всього
6 + 6 = 12.
Можна
не виконуючи жодного правила, визначити кількість варіантів вибору шляху
просто, провівши олівцем по лініях.
ВІДПОВІДЬ: 12
Завдання до уроку 2
Комментариев нет:
Отправить комментарий