Пусть задано множество всех натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания
(натуральный ряд):
1, 2, 3, … , n, …
Если каждому числу n множества N (n ∈ N) по определённому правилу (закону) f поставлено у соответствие одно и только одно действительное число un, т. е.:
ПРИМЕР:
Выпишем в порядке возрастания двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 5:
15; 25; 35; 45;
55; 65; 75; 85; 95.
Первым записано число 15, вторым – число 25, третьим – число 35, девятым (последним) – число 95. Каждому натуральному числу от 1 до 9 поставлено в соответствии единственное двузначное число оканчивающееся цифрой 5:
{1; 2; 3; …; 9},
а областью значений – множество
{15; 25; 35; …; 95}.
Обозначим эту функцию буквой g, тогда
g(1) = 15; g(2) = 25; g(3) = 35; …; g(9) = 95.
ПРИМЕР:
Расположим в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:
1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; … .
Мы выписали лишь первые пять таких дробей. Очевидно, что на шестом месте должна стоять дробь 1/7, на седьмом – дробь 1/8, на тридцатом – дробь 1/31, на сотом – дробь 1/100. Вообще, для любого натурального числа n можно указать соответствующую ему дробь, причём эта дробь будет единственной.
h(1) = 1/2; h(2) = 1/3; h(3) = 1/4; …;
Функция, область определения которой – множество натуральных чисел или множество первых n натуральных чисел, называется последовательностью.
Если последовательность определена на множестве всех натуральных чисел, то такую последовательность называют бесконечной, а если последовательность определена на множестве первых n натуральных чисел, то её называют конечной.
f(1); f(2); f(3); …; f(n); …,
соответствующие значениям аргумента, равным
1, 2, 3, … , n, … ,
называют первым, вторым, третьим, …, энным, … членами последовательности.
f(1) = а1; f(2) = а2; f(3) = а3; …; f(n) = аn; …,
В этом обозначении индекс (порядковый номер члена) равен значению аргумента; символом аn обозначено значение функции, соответствующее аргументу n. Саму последовательность обозначают так:
(аn), где n = 1, 2, 3, …
ПРИМЕР:
Обозначим последовательность, членами которой являются правильные дроби с числителем, равным 1, символом (аn). Тогда
а1 = 1/2; а2 = 1/3; а3 = 1/4; а30 = 1/31; а100 = 1/101.
Вместо буквы а можно было бы взять какую-либо другую букву.
В которой каждый член в 2 раза больше своего номера.
Возрастающей является та и только та последовательность, каждый член которой (начиная со второго) больше предыдущего.
ПРИМЕР:
Покажем, что последовательность
возрастающая. Имеем
при n = 1, 2, 3, …
Поэтому, un+1 > un при
n ∈ N, то есть последовательность
возрастающая;
Аналогично числовую последовательность, которая является убывающей функцией, принято называть убывающей последовательностью.
ПРИМЕР:
Убывающими являются конечная последовательность
–2; –4; –6; –8; –10,
а также бесконечная последовательность правильных дробей с числителем, равным 1.
Убывающей является та и только та последовательность, каждый член которой (начиная со второго) меньше предыдущего.
Не всякая последовательность является возрастающей или убывающей.
ПРИМЕР:
Конечная последовательность
8; –6; 4; –2; 0,
Бесконечная последовательность
5; 0; 5; 0; 5; 0; …,
все члены которой с нечётными номерами равны 5, а с чётными – 0.
10; 10; 10; 10; …,
все члены которой равны 10.
un ≤ un+1,
то есть
u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ … ≤ un ≤ … ;
Последовательность {un} называется невозрастающей, если при всех n (n ∈ N) справедливо неравенство
un ≥ un+1,
то есть
u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ … ≥ un ≥ … ;
Последовательность, все члены которой равны между собой, называется постоянной последовательностью.
Постоянная последовательность {un = а} (все члены её равны между собой) одновременно будет не убывающей и не возрастающей, потому что
un ≤ un+1 и un ≥ un+1 (un = un+1) при (n ∈ N).
Возрастающие, убывающие, не возрастающие и не убывающие последовательности называются монотонными.
Ограниченные последовательности.
а) последовательность {un} называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех n (n ∈ N) справедливо неравенство
un ≤ М.
Число М называется верхней границей последовательности {un}.
ПРИМЕР:
Последовательность
ограничена сверху. Действительно,
Верхняя граница данной последовательности
Очевидно, любое число
также будет верхней границей
последовательности
Если последовательность ограничена сверху, то она имеет
бесконечное количество верхних границ;
б) последовательность {un} называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех n ∈ N справедливо неравенство
un ≤ m,
Число m называется нижней границей последовательности {un}.
ПРИМЕР:
Последовательность {n2} ограничена снизу.
Действительно, un = n2 ≥ 1 при n = 1, 2, 3, … , то есть нижняя граница последовательности {n2} m = 1. Очевидно, любое число a < 1 также будет нижней границей данной последовательности. Если последовательность ограничена снизу, то она имеет бесконечное количество нижних границ;
в) последовательность {un} называется ограниченной, если она ограничена снизу и сверху, то есть
m ≤ un ≤ M (n ∈ N).
Часто определение ограниченной последовательности формулируют так:
Последовательность {un} называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что для всех n ∈ N справедливо неравенство
|un| ≤ M.
Последовательность, которая не будет ограниченной хотя бы снизу или хотя бы сверху, называется неограниченной.
Действия с последовательностями.
Суммой, разностью, произведением, делением двух последовательностей
{un} и {vn}
называются соответственно последовательности
(в последнем случае vn ≠ 0, n ∈ N).
ПРИМЕР:
Найти сумму последовательностей
По определению
имеем:
или
Геометрическое изображение последовательностей.
Числовую последовательность, как и числовую функцию, можно изображать геометрически с помощью точек координатной плоскости. Так как числовая последовательность – это функция, область определения которой служит множество N натуральных чисел (или множество первых n натуральных чисел), то её графиком является множество точек координатной плоскости, абсциссы которых – натуральные числа 1, 2, 3, …, n, …, а ординаты – соответствующие члены последовательности.
(un), где u = f(n),
Чаще всего пользуются такими двумя способами:
а) последовательность (un) изображают в виде графика функции
y = un = f(n),
который состоит из отдельных точек
(1, u1), (2, u2), … , (n, un), …
Иногда, для наглядности, эти точки последовательно соединяют сплошными или пунктирными линиями. Этот график называется графиком последовательности (un);
б) последовательность (un) изображают
в виде соответствующих точек числовой оси.
ПРИМЕР:
На рисунке изображён график конечной последовательности
–4; –2; 0; 2; 4.
Он состоит из пяти точек,
координатами которых служат пары чисел
(1; –4), (2; –2), (3; 0), (4; 2), (5; 4).
Отметим, что существуют последовательности, членами которых будут комплексные числа, функции, фигуры и т. д. Дальше мы будем говорить вместо <<числовые последовательности>> просто <<последовательности>>, подразумевая под этим числовую последовательность, членами которой являются действительные числа.
Другие уроки:
1, 2, 3, … , n, …
Если каждому числу n множества N (n ∈ N) по определённому правилу (закону) f поставлено у соответствие одно и только одно действительное число un, т. е.:
u1, u2, u3
… , un, …
ПРИМЕР:
Выпишем в порядке возрастания двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 5:
15; 25; 35; 45;
55; 65; 75; 85; 95.
Первым записано число 15, вторым – число 25, третьим – число 35, девятым (последним) – число 95. Каждому натуральному числу от 1 до 9 поставлено в соответствии единственное двузначное число оканчивающееся цифрой 5:
{1; 2; 3; …; 9},
а областью значений – множество
{15; 25; 35; …; 95}.
Обозначим эту функцию буквой g, тогда
g(1) = 15; g(2) = 25; g(3) = 35; …; g(9) = 95.
ПРИМЕР:
Расположим в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:
1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; … .
Мы выписали лишь первые пять таких дробей. Очевидно, что на шестом месте должна стоять дробь 1/7, на седьмом – дробь 1/8, на тридцатом – дробь 1/31, на сотом – дробь 1/100. Вообще, для любого натурального числа n можно указать соответствующую ему дробь, причём эта дробь будет единственной.
Таким образом, и в данном
случае задана функция. Областью определения этой функции служит множество N натуральных чисел, а областью значений –
множество правильных дробей с числителем, равным 1. Обозначим рассмотренную функцию
буквой h,
тогда
h(1) = 1/2; h(2) = 1/3; h(3) = 1/4; …;
h(30) = 1/31; …; h(100) = 1/100; … .
Функция, область определения которой – множество натуральных чисел или множество первых n натуральных чисел, называется последовательностью.
Если последовательность определена на множестве всех натуральных чисел, то такую последовательность называют бесконечной, а если последовательность определена на множестве первых n натуральных чисел, то её называют конечной.
В первом из приведённых выше примеров мы рассмотрели конечную
последовательность, во втором – бесконечную (в записи это показано с помощью
многоточия).
Пусть некоторая функция f является последовательностью. Значения
функции
f(1); f(2); f(3); …; f(n); …,
соответствующие значениям аргумента, равным
1, 2, 3, … , n, … ,
называют первым, вторым, третьим, …, энным, … членами последовательности.
Обычно члены последовательности обозначают буквой с индексами. Обозначим первый
член последовательности символом а1 (читается: а первое), второй –
символом а2 (а второе), третий –
символом а3 (а третье), …, член с номером n –
символом аn (а энное) и т. д.:
f(1) = а1; f(2) = а2; f(3) = а3; …; f(n) = аn; …,
В этом обозначении индекс (порядковый номер члена) равен значению аргумента; символом аn обозначено значение функции, соответствующее аргументу n. Саму последовательность обозначают так:
(аn), где n = 1, 2, 3, …
ПРИМЕР:
Обозначим последовательность, членами которой являются правильные дроби с числителем, равным 1, символом (аn). Тогда
а1 = 1/2; а2 = 1/3; а3 = 1/4; а30 = 1/31; а100 = 1/101.
Вместо буквы а можно было бы взять какую-либо другую букву.
Числовую последовательность, которая является возрастающей функцией,
принято называть возрастающей
последовательностью.
Рассмотренная в первом примере последовательность двузначных чисел,
оканчивающихся цифрой 5,
такова, что большему номеру (большему значению аргумента) соответствует больший
член последовательности (большее значение функции). Значит, эта конечная
последовательность является возрастающей.
Примером возрастающей последовательности может служить также бесконечная
последовательность чётных чисел
2; 4; 6;
8; …,
В которой каждый член в 2 раза больше своего номера.
Возрастающей является та и только та последовательность, каждый член которой (начиная со второго) больше предыдущего.
ПРИМЕР:
Покажем, что последовательность
n ∈ N, то есть последовательность
Аналогично числовую последовательность, которая является убывающей функцией, принято называть убывающей последовательностью.
ПРИМЕР:
Убывающими являются конечная последовательность
–2; –4; –6; –8; –10,
а также бесконечная последовательность правильных дробей с числителем, равным 1.
Убывающей является та и только та последовательность, каждый член которой (начиная со второго) меньше предыдущего.
Не всякая последовательность является возрастающей или убывающей.
ПРИМЕР:
Конечная последовательность
8; –6; 4; –2; 0,
Бесконечная последовательность
5; 0; 5; 0; 5; 0; …,
все члены которой с нечётными номерами равны 5, а с чётными – 0.
Бесконечная последовательность
10; 10; 10; 10; …,
все члены которой равны 10.
Последовательность {un} называется
неубывающей,
если при всех n (n ∈ N) справедливо неравенство
un ≤ un+1,
то есть
u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ … ≤ un ≤ … ;
Последовательность {un} называется невозрастающей, если при всех n (n ∈ N) справедливо неравенство
un ≥ un+1,
то есть
u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ … ≥ un ≥ … ;
Последовательность, все члены которой равны между собой, называется постоянной последовательностью.
Постоянная последовательность {un = а} (все члены её равны между собой) одновременно будет не убывающей и не возрастающей, потому что
un ≤ un+1 и un ≥ un+1 (un = un+1) при (n ∈ N).
Возрастающие, убывающие, не возрастающие и не убывающие последовательности называются монотонными.
Возрастающие и убывающие – строго монотонными.
Не возрастающие и не убывающие – не строго монотонными.
Ограниченные последовательности.
а) последовательность {un} называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех n (n ∈ N) справедливо неравенство
un ≤ М.
Число М называется верхней границей последовательности {un}.
ПРИМЕР:
Последовательность
б) последовательность {un} называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех n ∈ N справедливо неравенство
un ≤ m,
Число m называется нижней границей последовательности {un}.
ПРИМЕР:
Последовательность {n2} ограничена снизу.
Действительно, un = n2 ≥ 1 при n = 1, 2, 3, … , то есть нижняя граница последовательности {n2} m = 1. Очевидно, любое число a < 1 также будет нижней границей данной последовательности. Если последовательность ограничена снизу, то она имеет бесконечное количество нижних границ;
в) последовательность {un} называется ограниченной, если она ограничена снизу и сверху, то есть
m ≤ un ≤ M (n ∈ N).
Часто определение ограниченной последовательности формулируют так:
Последовательность {un} называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что для всех n ∈ N справедливо неравенство
|un| ≤ M.
Последовательность, которая не будет ограниченной хотя бы снизу или хотя бы сверху, называется неограниченной.
Действия с последовательностями.
Суммой, разностью, произведением, делением двух последовательностей
{un} и {vn}
называются соответственно последовательности
Произведением последовательности {un} на постоянное
число с называется последовательность {сun}.
ПРИМЕР:
Найти сумму последовательностей
Числовую последовательность, как и числовую функцию, можно изображать геометрически с помощью точек координатной плоскости. Так как числовая последовательность – это функция, область определения которой служит множество N натуральных чисел (или множество первых n натуральных чисел), то её графиком является множество точек координатной плоскости, абсциссы которых – натуральные числа 1, 2, 3, …, n, …, а ординаты – соответствующие члены последовательности.
Для геометрического
изображения последовательности
(un), где u = f(n),
Чаще всего пользуются такими двумя способами:
а) последовательность (un) изображают в виде графика функции
y = un = f(n),
который состоит из отдельных точек
(1, u1), (2, u2), … , (n, un), …
Иногда, для наглядности, эти точки последовательно соединяют сплошными или пунктирными линиями. Этот график называется графиком последовательности (un);
На рисунке изображён график конечной последовательности
–4; –2; 0; 2; 4.
(1; –4), (2; –2), (3; 0), (4; 2), (5; 4).
Отметим, что существуют последовательности, членами которых будут комплексные числа, функции, фигуры и т. д. Дальше мы будем говорить вместо <<числовые последовательности>> просто <<последовательности>>, подразумевая под этим числовую последовательность, членами которой являются действительные числа.
Другие уроки:
- Урок 2. Способы задания последовательностей
- Урок 3. Рекуррентный способ задания последовательности
- Урок 4. Определение арифметической прогрессии
- Урок 5. Формула n-го члена арифметической прогрессии
- Урок 6. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии
- Урок 7. Определение геометрической прогрессии
- Урок 8. Формула n-го члена геометрической прогрессии
- Урок 9. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
Комментариев нет:
Отправить комментарий