Урок 3. Рекурентний спосіб завдання послідовності

вторник, 30 апреля 2019 г.

Урок 3. Рекурентний спосіб завдання послідовності

Нехай відомо, що в послідовності кожен член, починаючи з другого, дорівнює квадрату попереднього.

ПРИКЛАД:

Щоб задати послідовність

2; 4; 16; 256; … ,

Досить вказати перший її член. Таким чином, ця послідовність задається двома умовами:

– перший член дорівнює 2,

– кожен член, починаючи з другого, дорівнює квадрату передування.

Якщо послідовність позначити через (a_n), то ці умови запишуться так:

a₁ = 2; a_n₊₁ = a_n².

ПРИКЛАД:

Розглянемо послідовність (b_n), перший член якої дорівнює одиниці, другій, – двом, а кожен член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх членів:

b₁ = 1; b₂ = 2;

b_n₊₂ = b_n + b_n₊₁.

Знаючи перших двох членів b₁ і b₂ послідовності (b_n) і формулу

b_n₊₂ = b_n + b_n₊₁,

можна знайти будь-який член послідовності:

b₃ = 1 + 2 = 3;

b₄ = 2 + 3 = 5;

b₅ = 3 + 5 = 8 і т. д.

Значить, послідовність (b_n) задана.

Рекурентний спосіб завдання послідовності полягає в тому, що задається перший член послідовності (чи декілька членів) і правило, по якому визначається наступний член послідовності по відомим його попереднім членом (або декількома членами).

Формула, яка встановлює співвідношення n-го члена послідовності його попереднім членом, називається рекурентним співвідношенням.

ПРИКЛАД:

Нехай задано

u₁ = 1, u₂ = 3, а рекурентне співвідношення має вигляд

u_n = 2u_n-₁ + u_n_-2 (n ≥ 3).

Тоді маємо послідовність

u₁ = 1, u₂ = 3,

u₃ = 2×3 + 1,

u₄ = 2×7 + 3 = 17, … ,

або

1, 3, 7, 17, …

ПРИКЛАД:

Нехай перший член послідовності (с_n) дорівнює 12, а кожен наступний, починаючи з другого, виходить відніманням з попереднього члена числа 5, т. е.

с₁ = 12; с_n₊₁ = с_n – 5.

Тоді

с₂ = с₁ – 5 = 7,

с₃ = с₂ – 5 = 2,

с₄ = с₃ – 5 = –3 і т. д.
Завдання до уроку 3
Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 30 апреля 2019 г.