Урок 3. Рекуррентный способ задания последовательности

воскресенье, 28 апреля 2019 г.

Урок 3. Рекуррентный способ задания последовательности

Пусть известно, что в последовательности каждый член, начиная со второго, равен квадрату предыдущего.

ПРИМЕР:

Чтобы задать последовательность

2; 4; 16; 256; … ,

достаточно указать первый её член. Таким образом, эта последовательность задаётся двумя условиями:

– первый член равен 2,

– каждый член, начиная со второго, равен квадрату предшествующего.

Если последовательность обозначить через (a_n), то эти условия запишутся так:

a₁ = 2; a_n₊₁ = a_n².

ПРИМЕР:

Рассмотрим последовательность (b_n), первый член которой равен единице, второй – двум, а каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов:

b₁ = 1; b₂ = 2;
b_n₊₂ = b_n + b_n₊₁.

Зная первые два члена b₁ и b₂ последовательности (b_n) и формулу

b_n₊₂ = b_n + b_n₊₁,

можно найти любой член последовательности:

b₃ = 1 + 2 = 3;
b₄ = 2 + 3 = 5;

b₅ = 3 + 5 = 8 и т. д.

Значит, последовательность (b_n) задана.

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что задаётся первый член последовательности (или несколько членов) и правило, по которому определяется следующий член последовательности по известным его предыдущим членом (или несколькими членами).

Формула, которая устанавливает соотношение n-го члена последовательности его предыдущим членом, называется рекуррентным соотношением.

ПРИМЕР:

Пусть задано

u₁ = 1, u₂ = 3,

а рекуррентное соотношение имеет вид

u_n = 2u_n-₁ + u_n_-2 (n ≥ 3).

Тогда получим последовательность

u₁ = 1, u₂ = 3,

u₃ = 2×3 + 1 = 7,

u₄ = 2×7 + 3 = 17, … ,

или

1, 3, 7, 17, …

ПРИМЕР:

Пусть первый член последовательности (с_n) равен 12, а каждый следующий, начиная со второго, получается вычитанием из предыдущего члена числа 5, т. е.

с₁ = 12; с_n+₁ = с_n – 5.

Тогда

с₂ = с₁ – 5 = 7,

с₃ = с₂ – 5 = 2,

с₄ = с₃ – 5 = –3 и т. д.

Задания к уроку 3

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 28 апреля 2019 г.