Урок 8. Формула n-го члена геометрической прогрессии

Зная первый член  b₁  и знаменатель  q  геометрической прогрессии  (b_n), можно путём последовательных вычислений найти второй, третий и вообще любой её член. Однако при нахождении членов с достаточно большими номерами удобнее пользоваться формулой, которая выражает любой член последовательности  (b_n)  через первый член  b₁, знаменатель прогрессии  q  и номер искомого члена  n.

Из определения прогрессии следует, что

b₂ = b₁ × q,

b₃ = b₂ × q = (b₁ × q) × q = b₁ × q²,

b₄ = b₃ × q = (b₁ × q²) × q = b₁ × q³,

b₅ = b₄ × q = (b₁ × q³) × q = b₁ × q⁴  и т. д.

Вообще, формула общего члена геометрической прогрессии:

ПРИМЕР:

В геометрической прогрессии  (b_n)

b₁ = 0,8  и  q = ¹/₂.

Найти  b₁₀.

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой

b_n = b₁ × q^n-1:

ПРИМЕР:

В геометрической прогрессии  (c_n)

c₁ = –27  и  q = ¹/₃.

Найти  n-й член этой прогрессии.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы  c_n = c₁ × q^n-1  имеем:

ПРИМЕР:

После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется  20%  находящегося в нём воздуха. Определить давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначальное давление было равным  750 мм рт. ст.

РЕШЕНИЕ:

Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется  20%  находящегося в нём воздуха, то в нём остаётся  80%, или иначе, ⁴/₅ имевшегося воздуха.

Для того чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, достаточно умножить на  ⁴/₅  число, показывающее значение давления воздуха после предыдущего движения поршня. Число, указывающее последовательно значение первоначального давления воздуха в сосуде, величину давления после одного движения поршня, после двух движений, после трёх и т. д., образуют геометрическую прогрессию, первый член которой равен  750, а знаменатель равен  ⁴/₅. Числовое значение давления воздуха после шести движений поршня, выраженное в мм рт. ст., является седьмым членом этой прогрессии, значит, оно равно произведению

750 × (⁴/₅)⁶.

Произведя вычисления, получим:

Итак, после шести движений поршня давление воздуха в сосуде равно  197 мм рт. ст.

• Задания к уроку 8

Другие уроки:

• Урок 1. Понятие последовательности
• Урок 2. Способы задания последовательностей
• Урок 3. Рекуррентный способ задания последовательности
• Урок 4. Определение арифметической прогрессии
• Урок 5. Формула n-го члена арифметической прогрессии
• Урок 6. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии
• Урок 7. Определение геометрической прогрессии
• Урок 9. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии