ПРИКЛАД:
Нехай
послідовність (bn)
така, що перший член її рівний 3,
а кожен член, починаючи з другого, виходить множенням попереднього члена
на 2.
Тоді
(bn)
b2 = 3 × 2
= 6,
b3 = 6 × 2
= 12,
b4 = 12 × 2
= 24,
b5 = 24 × 2
= 48, … .
Числова послідовність,
перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого,
дорівнює попередньому членові, помноженому на одно і те ж, не рівне нулю число,
називається геометричною прогресією.
Розглянута вище послідовність (bn) –
геометрична прогресія, оскільки при будь-кому
n
≥ 1 bn+1 = bn × 2.
З визначення виходить, що в геометричній прогресії (bn) відношення будь-якого її члена, починаючи з
другого, до передування дорівнює одному і тому ж числу:
b2
: b1 = b3 : b2 = … = bn
: bn-1 = bn+1 : bn = … ..
Це число називається знаменником геометричною
прогресії.
Його зазвичай означають буквою q.
Згідно з визначенням
an+1 = an q, n ∈ N.
Геометрична прогресія позначається символом ∺. Записують її так:
∺ a1,
a2, a3, … , an-1,
an, an+1, …
ПРИКЛАД:
∺ 3;
6; 12; 24;
48; … – геометрична
прогресія з знаменником
q = 2.
Геометрична прогресія (bn) визначається:
1) умовою
b1
= b
(b ≠ 0);
2) рекурентною формулою
bn+1
= bn × q.
Для того, щоб задати
геометричну прогресію (bn),
досить знати її перший член b1 і знаменник
q.
ПРИКЛАД:
b1
= 6, q =
1/2,
те
ми маємо геометричну прогресію
6; 3; 3/2; 3/4; 3/8; ... .
ПРИКЛАД:
Умовою
b1
= 6, q = –3
задається
геометрична прогресія:
4; –12;
36; –108; ... .
У тому випадку,
коли q < 0,
члени прогресії з непарними номерами мають той же знак, що і перший член, а
члени прогресії з парними номерами мають знак, протилежний до знаку першого
члена прогресії. В цьому випадку прогресія не є ні зростаючою, ні убуваючою
послідовністю.
Якщо q > 0
(q ≠ 1), то прогресія – що або зростає
послідовністю, або убуває.
ПРИКЛАД:
b1
= –2, q = 3.
В
цьому випадку геометрична прогресія
–2; –6;
–18; ... .
є
убуваюча послідовність.
Якщо q
=
1,
то усі члени прогресії рівні між собою. В цьому випадку прогресія буде
постійною послідовністю.
Властивості
членів геометричної прогресії.
а) квадрат кожного члена геометричної прогресії дорівнює добутку рівновіддалених від нього її членів, тобто
∺ a1,
a2, a3, … , an-2,
a n-1, an,
то добутки членів,
рівновіддалених від кінців цієї скінченної геометричної прогресії, рівні між
собою:
Добуток n перших членів геометричної прогресії
Знайти
чотири числа, з яких перші три є послідовними членами геометричної прогресії, а
останні три – членами арифметичної прогресії, якщо сума крайніх чисел
дорівнює 21,
а сума середніх – 18.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Позначимо
перші три числа x, xq, xq2,
тоді четверте число у
знайдемо, скориставшись властивістю послідовних членів xq, xq2,
у
арифметичної прогресії:
y =
2xq2 – xq.
За умовою задачі маємо:
Будь-який член геометричної
прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому пропорційному передуючого і
подальшого членів.
Справедливо і зворотне:
Якщо деяка послідовність така, що
будь-який член, починаючи з другого, дорівнює середньому пропорційному
передуючого і подальшого членів, то ця послідовність – геометрична прогресія.
Таким чином,
справедлива теорема:
Числова послідовність є геометричною
прогресією в тому і тільки тому випадку, коли будь-який її член, починаючи з
другого, дорівнює середньому пропорційному передуючого і подальшого членів.
ПРИКЛАД:
При
якому від’ємному значенні х
значення виразів
2х – 3, х – 5, х + 2
будуть
послідовними членами геометричної прогресії ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Числа b1, b2, b3 будуть
послідовними членами геометричної прогресії лише тоді коли
ВІДПОВІДЬ: –11
Завдання до уроку 7
Інші уроки:
Завдання до уроку 7
Інші уроки:
- Урок 1. Поняття послідовності
- Урок 2. Способи завдання числової послідовності
- Урок 3. Рекурентний спосіб завдання послідовності
- Урок 4. Визначення арифметичної прогресії
- Урок 5. Формула n-го члена арифметичної прогресії
- Урок 6. Формула суми n перших членів арифметичній прогресії
- Урок 8. Формула n-го члена геометричної прогресії
- Урок 9. Формула суми n перших членів геометричної прогресії
Комментариев нет:
Отправить комментарий