Урок 5. Формула n-го члена арифметичної прогресії

среда, 8 мая 2019 г.

Урок 5. Формула n-го члена арифметичної прогресії

Знаючи перший член арифметичної прогресії (а_n) і її різниця, можна за допомогою послідовних обчислень знайти будь-який член цієї прогресії.

ПРИКЛАД:

Якщо a₁ = 2,3 и d = 0,45, то

a₂ = 2,75, a₃ = 3,2, a₄ = 3,65 и т. д.

Нехай треба знайти десятий член арифметичної прогресії, у якої задані перший член і різниця. Це завдання можна вирішити, знаходячи послідовно усі члени від другого до десятого. Для отримання сотого члена треба виконати ще більшу обчислювальну роботу постараємося знайти коротший спосіб обчислення будь-якого члена арифметичною прогресію

За визначенням арифметичної прогресії.

a₂ = a₁ + d.

a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d,

a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d,

a₅ = a₄ + d = (a₁ + 3d) + d = a₁ + 4d,

Легко зміркувати, що

a₆ = a₁ + 5d,

a₁₀ = a₁ + 9d,

a₂₃ = a₁ + 22d.

Взагалі,

Наведемо приклади в яких n-член арифметичної прогресії виражається через перший член, різниця прогресії d і номер члена n.

ПРИКЛАД:

Вимагається знайти 10-ою і 100-ою члени арифметичної прогресії (а_n), перший член якої 2,3, а різниця 0,45. Скористаємося формулою:

a₁₀ = 2,3 + 0,45 (10 – 1) = 6,8 – 0,45 = 6,35,

a₁₀₀ = 2,3 + 0,45 (100 – 1) = 47,3 – 0,45 = 46,85.

ПРИКЛАД:

З'ясуємо, чи є членом арифметичної прогресії

–10; –5,5; –1; 3,5; …

число 71.

Перший член цієї арифметичної прогресії рівний –10, а різниця 4,5. Число 71 є членом цієї прогресії, якщо існує таке натуральне значення змінної n, при якому значення вираження

–10 + 4,5(n – 1)

рівне 71.

Вирішимо рівняння

–10 + 4,5(n – 1) = 71.

Отримаємо:

4,5(n – 1) = 81,

n – 1 = 18,

n = 19.

Вираження

–10 + 4,5(n – 1)

Набуває значення, рівного 71, при n = 19, причому 19 – число натуральне. Значить, число 71 – дев'ятнадцятий член цієї прогресії.

ПРИКЛАД:

Між числами 2,5 і 4 вставити два таких числа, щоб вони разом з даними утворювали арифметичну прогресію.

Маємо прогресію (а_n):

2,5; a₂; a₃; 4.

Використавши формулу

a_n = a₁ + d(n – 1)

й урахувавши що

a₁ = 2,5, a₄ = 4,

Складемо та розв’яжемо рівняння:

2,5 + 3d = 4,

d = 1,5, d = 0,5.

Тоді

а₂ = 2,5 + 0,5 = 3,

а₃ = 3 + 0,5 = 3,5.

ВІДПОВІДЬ: 3, 3,5

ПРИКЛАД:

Знайдіть перший додатний член арифметичної прогресії:

–10,2; –9,6; –9; … .

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

а₁ = –10,2, a₂ = –9,6. Отже,

d = a₂ – a₁ = –9,6 – (–10,2) = 0,6.

a_n = a₁ + d(n – 1).

Якщо a_n > 0, то

–10,2 + 0,6(n – 1) > 0,

n – 1 > 17, n > 18.

Отже, перший додатний член a₁₉.

a₁₉ = –10,2 + 0,6(19 – 1) = 0,6.

ВІДПОВІДЬ: 0,6.

ПРИКЛАД:

Знайдіть перший від’ємний член арифметичної прогресії:

10,5; 9,8; 9,1; … .

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

а₁ = 10,5, a₂ = 9,8. Отже,

d = a₂ – a₁ = 9,8 – 10,5 = –0,7.

a_n = a₁ + d(n – 1).

Якщо a_n < 0, то

10,5 – 0,7(n – 1) < 0,

0,7(n – 1) > 10,5,

n – 1 > 15, n > 16.

Отже, перший від’ємний член a₁₇.

a₁₇ = 10,5 – 0,7(17 – 1) = –0,7.

ВІДПОВІДЬ: –0,7.

ПРИКЛАД:

Розглянемо арифметичну прогресію (а_n), задану умовами

a₁ = 6, d = 4.

Знайдемо n-й член цієї арифметичної прогресії:

a_n = 6 + 4(n – 1), т. е.

a_n = 4n + 2.

Ми отримали формулу, права частина якої – двочлен 4n + 2, що містить змінну n (n ∈ N) в першому ступені. Значить, арифметична прогресія (а_n) є лінійною функцією, заданою на безлічі N натуральних чисел формулою

y = 4x + 2.

Графік цієї арифметичної прогресії є безліччю точок з натуральними абсцисами, що належать прямій

y = 4x + 2.

Це, наприклад, точки

(1; 6), (2; 10), (3; 14),

и др.

Арифметична прогресія є лінійною функцією, заданою на безлічі натуральних чисел.

Для того, щоб довести це, представимо формулу n- го члена арифметичної прогресії

a_n = a₁ + d(n – 1)

в виді

a_n = dn + (a₁ – d).

Ми отримали формулу виду

y = kx + b,

де k = d и b = a₁ – d – деякі числа,

x = n і y = a_n – змінні, а такою формулою, як відомо, задається лінійна функція.

Завдання до уроку 5
Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 8 мая 2019 г.