Урок 17. Комбінації тіл

ВІДЕОУРОК

Нами вже розглянуто прості геометричні тіла: призма, піраміда, циліндр, конус, куля. Але у природі, техніці та геометрії також розглядають і комбінації вказаних геометричних тіл.

ПРИКЛАД:

Куля називається вписаною в конус, зрізаний конус і циліндр, якщо поверхня кулі дотикається до площин основ цих фігур і до всіх твірних їх бічних поверхонь.

Куля називається описаною навколо конуса, якщо поверхня кулі проходить через вершину конуса, а коло основи конуса лежить на поверхні кулі.

Куля називається описаною навколо циліндра і зрізаного конуса, якщо кола їх основ лежать на поверхні кулі.

Зауважимо, що в конус завжди можна вписати кулю, а навколо циліндра і зрізаного конуса завжди можна описати кулю.

Для інших просторових фігур умови можливості вписати в них і описати навколо них кулі повинні бути в кожному випадку спеціально визначені.

ЗАДАЧА:

У правильну чотирикутну піраміду вписано куб так, що чотири його вершини знаходяться на бічних ребрах піраміди, а інші чотири – в площині її основи. Визначити ребро куба, якщо в піраміді сторона основи дорівнює  а  і висота  h.

На рисунку зображено піраміду  SABCD  з вписаним у неї кубом  MNPQM₁N₁P₁Q₁, чотири вершини якого лежать на бічних ребрах піраміди, а інші – в площині основи.

Позначимо ребро куба через  х, тобто  

MN = MM₁ = x. 

Розглянемо подібні  

⊿SO₁B  і  ⊿SON (ON ∥ O₁B). 

З подібності цих трикутників знайдемо

Враховуючи, що  SO₁ = h, SO = h –x,

одержуємо

звідки

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Навколо кулі описано зрізаний конус, твірна якого дорівнює  а. Знайти бічну поверхню цього конуса.

На рисунку зображено основний переріз зрізаного конуса з вписаній в нього кулею.

За умовою задачі  ВС = а. означимо  

О₁В = R, а  О₂C = r. 

Тоді за властивістю дотичних до кола, що виходять є однієї і тієї самої точки, 

О₂С = СМ  і  О₁В = МВ, або  
О₁В + О₂С = СВ = а, 

тобто  R + r = а. Отже, шукана бічна поверхня зрізаного конуса

S_бічн = π(R + r)а = πа².

Багатогранник, описаний навколо кулі.

Куля називається вписаною в багатогранник, а багатогранник – описаним навколо кулі, якщо площини всіх граней дотикаються до кулі.

Основні властивості призми, описаної навколо кулі, такі:

– кулю можна вписати у пряму призму, якщо її основою є 
багатокутник, у який можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цього кола;

– центр кулі є серединою висоти призми, яка сполучає центр кіл, вписаних у многокутники основ призми.

ЗАДАЧА:

Відомо, що в трикутну призму, сторони основ якої дорівнюють  

13 см, 14 см  і  15 см, 

можна вписати кулю. Знайти радіус цієї кулі.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Діаметр вписаної кулі дорівнює висоті призми і в той самий час дорівнює діаметру кола, вписаного в основу призми. Отже, радіус кола, вписаного в основу призми дорівнює радіуса кулі.

Радіус кола  r, вписаного в основу призми, знайдемо за формулою

де  S – площа трикутника основи, р – його півпериметр.

За формулою Герона

Отже, радіус кулі також дорівнює  4 см.

Основні властивості піраміди, описаної навколо кулі:

– якщо в піраміді всі двогранні кути при основі рівні між собою, то в цю піраміду можна вписати сферу; центр сфери належить висоті піраміди, точка дотику з основою піраміди збігається з центром вписаного в основу кола, а точки дотику є бічними гранями належать висотам цих граней;

– у будь-яку правильну піраміду можна вписати кулю; центр кулі належить висоті піраміди;

– центр кулі, вписаної у правильну піраміду, збігається з центром кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, бічною стороною якого є апофема правильної піраміди, а висотою – висота піраміди; радіус кулі дорівнює радіусу цього кола.

ЗАДАЧА:

В правильній чотирикутній піраміді центри вписаної і описаної куль суміщаються. Визначити плоский кут при вершині піраміди.

Дано правильну чотирикутну піраміду  SАВС  і точку  О – центр вписаної в піраміді описаної навколо неї куль.

Точка  О₁ – центр кола, описаного навколо  ∆SВС. Тоді перпендикуляр з центра кулі на площину  ∆SВС  попадає в точку  О₁,  і  ОО₁  буде радіусом вписаної в піраміду кулі.

ОВ = ОС = SО = R – радіуси описаної кулі.

ОО₂ = ОО₁ = r – радіуси вписаної кулі.

Тоді прямокутні  

∆ОО₂В, ∆ОО₁В, ∆ОО₂С  і  ∆ОО₁С  

рівні між собою. З їх рівності випливає, що  

ВО₂ = СО₂ = ВО₁ = СО₁  і  
∆ВО₂С  і  ∆ВО₁С  

рівні.

В такому випадку  

∠ ВО₂С = ∠ ВО₁С = 90°.

Далі  SО₁ = ВО₁ = СО₁  як радіуси кола, описаного навколо  ∆SВС.

З рівнобедреного  ∆ВО₁S  за властивість зовнішнього кута

∠ BSE = ¹/₂ ∠ BO₁E

тоді

∠ BSC = ¹/₂ ∠ BO₁C = 45°.

ВІДПОВІДЬ:  45°.

Багатокутник, вписаний в кулю.

Якщо куля знаходиться всередині багатокутника, то вона називається вписаною, а якщо поза багатокутником – зовні вписаною.

Куля називається описаною навколо багатокутника, а багатокутник– вписаним у цю кулю, якщо всі вершини багатокутника лежать на поверхні кулі.

Основні властивості призми, вписаної в кулю:

– кулю можна описати навколо прямої призми, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло;

– центр кулі є серединою висоти призми, що сполучає центри кіл, описаних навколо многокутників основ призми;

– основи призми вписані в рівні паралельні перерізи кулі.

ЗАДАЧА:

Навколо правильної трикутної призми, сторона основи якої дорівнює  5√͞͞͞͞͞3  см, описано кулю. Радіус кулі дорівнює  13 см. Знайти висоту призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай навколо правильної трикутної призми  

АВСА₁В₁С₁  

описано кулю.

QВ = R_ABC  – радіус кола, описаного навколо  ∆АВС.

де  a = 5√͞͞͞͞͞3  см – сторона основи правильного трикутника  АВС.

Тоді

У  ∆OQB, OB = R = 13 см – радіус кулі, 
∠ OQB = 90°.

Маємо

Оскільки точка  О – середина висоти призми  QQ₁ то 

QQ₁ = 2×12 = 24 см.

Основні властивості піраміди, що вписана у кулю:

– кулю можна описати навколо піраміди, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло; центр кулі, описаної навколо піраміди лежить на перпендикулярі до площини основи, проведеному через центр кола, описаного основи;

– центр кулі, описаної навколо правильної піраміди, лежить на прямій, що містить висоту піраміди;

– центр кулі, описаної навколо правильної піраміди, збігається з центром кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, бічною стороною якого є бічне ребро піраміди, а висотою – висота піраміди; радіус кулі дорівнює радіусу цього кола.

Зазначимо, що центр описаної кулі може належати висоті піраміди, або лежати на її продовженні (тобто знаходиться або всередині піраміди, або за її межами). Розв'язуючи задачі способом, запропонованим нижче, немає потреби розглядати два випадки. При обраному способі розв'язування місце розташування центра кулі (усередині чи поза пірамідою) не враховується.

ЗАДАЧА:

Доведіть, що радіус кулі  R, описаної навколо правильної піраміди, можна знайти за формулою

де  Н – висота піраміди, r – радіус кола, описаного навколо основи піраміди.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Нехай точка  О – центр кулі, описаної навколо правильної піраміди с висотою  ОК.

За умовою  QK = R, КА = r  – радіус кола описаного навколо основи.

Продовжимо  QK  до другого перетину з кулею в точці  Q₁.

Тоді  QQ₁ = 2R – діаметр кола, а тому 

∠ QAQ₁ = 90°  і  QQ₁ – гіпотенуза прямокутного трикутника  QAQ₁.

∆QKA (∠ K = 90º),  
AQ² = QK² + AK²,  AQ² = H² + r².

За властивістю катета прямокутного трикутника у  ∆QAQ₁  матимемо 

AQ² = QQ₁× QK, тобто  
AQ² = 2R × H.

Отже,  

AQ² = H² + r²  і  AQ² = 2RH.

Звідси  H² + r² = 2RH,

що й треба було довести.

Застосування тригонометричних функцій до розв'язання стереометричних задач.

ЗАДАЧА:

У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює  α. Висота  h  піраміди є діаметром кулі. Знайти довжину кривої перетину їх поверхонь та обчислити її при  

α = 0,46 рад, h = 10,7 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дано правильну чотирикутну піраміду  SABCD  і кулю  O₁, діаметром якої служить висота піраміди  SO = h, плоский кут при вершині піраміди  ∠ BCD = α.

Знайти довжину лінії, по якій поверхня кулі перетинається з поверхнею піраміди.

Шукана лінія складається з чотирьох рівних дуг кіл, по яких перетинаються площині бічних граней піраміди з поверхнею кулі.

Знайдемо довжину дуги  B₁C₁, по якій грань піраміди  BSC  перетинається з поверхнею кулі.

Площина грані  BSC  перетинається з поверхнею по колу, центр якого  O₂  одержимо, опустивши з центра кулі перпендикуляр  O₁O₂  на площину цієї грані.

Кут  B₁SC₁ = α  є вписаним у коло  O₂  і спирається на дугу  B₁C₁, тому довжина шуканої дуги  B₁C₁  визначається за формулою

∪ B₁C₁ = 2α r,

де  α – даний кут в радіанах, а  r = O₂S – радіус кола  O₂.

для визначення радіуса  r  розглянемо подібні прямокутні

∆ SO₁O₂   і  ∆ SOM.

З подібності цих трикутників

звідки, враховуючи

SO = h  і  SO₁ = ¹/₂ h, знаходимо

Апофему піраміди  SM  визначимо так. Позначимо сторону основи піраміди  ВС = 2х, тоді  ОМ = х. З  ∆ВSM  маємо

SM = x ctg α/₂.

Далі з прямокутного  ∆ SOM  за теоремою Піфагора знаходимо

SO² + OM² = SM², або

h² + x² = x²ctg² α/₂.

Звідси

і, отже

Тоді

Підставляючи знайдене значення  r  у формулу для довжини дуги  B₁C₁  маємо

Довжина шуканої лінії перетину поверхні піраміди з поверхнею кулі дорівнює почетвереній довжині дуги  B₁C₁, тому остаточно дістанемо

де  α  є кут при вершині піраміди, виміряний в радіанах.

При  

h = 10,7 см  і  α = 0,46 рад, 

обмежуючись при обчисленні чотирма значущими цифрами, маємо

cos α/₂ ≈ 0,9737; 

cos α ≈ 0,8961;

√͞͞͞͞͞cos α ≈ 0,9466;

l ≈ 19,14 cм.

ВІДПОВІДЬ:  l ≈ 19,14 cм

Завдання до уроку 17

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Прямі і площині у просторі
• Урок 2. Пряма призма
• Урок 3. Похила призма
• Урок 4. Правильна призма
• Урок 5. Паралелепіпед
• Урок 6. Прямокутний паралелепіпед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Піраміда
• Урок 9. Правильна піраміда
• Урок 10. Зрізана піраміда
• Урок 11. Циліндр
• Урок 12. Вписана і описана призма
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Зрізаний конус
• Урок 15. Вписана і описана піраміда
• Урок 16. Сфера і куля