Урок 3. Наклонная призма

вторник, 6 марта 2018 г.

Урок 3. Наклонная призма

ВИДЕОУРОК

Призма называется наклонной, если её боковые рёбра не перпендикулярны к плоскости основания.

Если в наклонной призме боковое ребро образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из его одного конца, то проекция ребра на плоскость основания будет биссектрисою соответственного угла основания.

Если в наклонной призме две смежные боковые грани образуют одинаковые двугранные углы с основанием, то проекция на основание бокового ребра, которое принадлежит линии пересечения двух граней указанных двугранных углов, будет биссектрисою угла основания.

Поверхность наклонной призмы.

Боковою поверхностью наклонной призмы называется сумма площадей всех её боковых граней.

Полною поверхностью наклонной призмы называется сумма её боковой поверхности и площадей оснований.

S_п = S_б + 2S_осн.

Боковая поверхность наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

S_б = P_пер × AA₁,

где P_пер – периметр сечения, перпендикулярного к боковому ребру.

ЗАДАЧА:

В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым рёбрам и пересекающее все боковые рёбра. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если периметр сечения равен р, а боковое ребра равно l.

РЕШЕНИЕ:

Пусть в наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым рёбрам, и пересекающее все боковые рёбра (сечение KLM). Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части.

Применим к одной из них параллельное перемещение, которое совмещает основания призмы. При этом получим прямую призму, основанием которой будет сечение данной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет туже самую боковую поверхность, что и данная. Таким образом, площадь боковой поверхности данной призмы равна рl.

ЗАДАЧА:

В наклонной треугольной призме боковые рёбра равны 8 см; стороны перпендикулярного сечения относятся как

9 : 10 : 17,

а его площадь равна 144 см². Найдите боковую поверхность этой призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть дана призма АС₁;

АА₁ = ВВ₁ = СС₁ = 8 см,

А₂В₂С₂ – перпендикулярное сечение призмы, притом

А₂В₂ : В₂С₂ : С₂ А₂ = 9 : 10 : 17 і

Необходимо определить боковую поверхность призмы:

S_бок = (А₂В₂ + В₂С₂ + С₂ А₂) × АА₁.

По условию задачи

АА₁ = 8 см, а

А₂В₂ : В₂С₂ : С₂ А₂ = 9 : 10 : 17.

Обозначим:

А₂В₂ = 9х, В₂С₂ = 10х, С₂А₂ = 17х.

Тогда по формуле Герона площадь перпендикулярного сечения будет равно:

а по условию она равна 144 см², то есть

36х² = 144, откуда х = 2 см.

В таком случае

А₂В₂ + В₂С₂ + С₂ А₂

= 36х = 72 см,

то есть

S_бок = 72 × 8 см² = 576 см².

ОТВЕТ: 576 см²

Задания к уроку 3

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 6 марта 2018 г.