Урок 1. Найпростіші тригонометричні рівняння

ВИДЕО УРОК

Тригонометричним рівнянням називається рівність, що має невідому величину лише під знаком тригонометричних функцій і справедлива лише при деяких певних значеннях невідомого.

Ці значення називаються коренями (розв’язками) рівнянь.

ПРИКЛАД:

sin x + cos x = 1,

tg x = cos ^х/₂ + 1  тощо.

Найпростішими тригонометричними рівняннями називають рівняння:

sin x = а,  cos x = а,

tg x = а,  ctg x = а,

де  а – дане число.

Розв’язання рівняння  sin x = а.

Якщо  |а| ≤ 1, то розв’язки цього рівняння визначаються за формулою:

x = (–1)ⁿ arcsin а + πn,

де  n = 0; ±1; ±2; …

Зокрема,

при  а = 0   x = πn;

при  а = +1   x = + ^π/₂ + 2πn;

при  а = –1   x = – ^π/₂ + 2πn.

Оскільки

–1  ≤ sin x ≤ 1

для будь-якого  х, то якщо  а ˃ 1  або  а < –1, рівняння 

sin x = а 

не має коренів.

Для того, щоб розв’язати рівняння  sin x = а, досить знайти на одиничному колі або графіку відповідної функції такі точки, ординати яких дорівнюють  а. Якщо пряма  y = а  перетинає одиничне коло (графік) у точках  М_α  і  М_β, то кути  α  і  β  є коренями рівняння 

sin x = а.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

sin x = ¹/₂.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використаємо формулу коренів рівняння;

x = (–1)^k arcsin a + πk,  k ∈ Z.

x = (–1)^k arcsin ¹/₂ + πk,  k ∈ Z.

x = (–1)^{k π}/₆ + πk,  k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:

(–1)^{k π}/₆ + πk,  k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

sin x = –¹/₂.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використаємо формулу коренів рівняння;

x = (–1)^k arcsin a + πk,  k ∈ Z.

x = (–1)^k arcsin (–¹/₂) + πk,  k ∈ Z.

x = (–1)^k (–^π/₆) + πk,  k ∈ Z,

x = (–1)^{k+1 π}/₆ + πk,  k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:

x = (–1)^{k+1 π}/₆ + πk,  k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

sin x = 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використаємо формулу коренів рівняння;

x = (–1)^k arcsin a + πk,  k ∈ Z.

x = (–1)^k arcsin 0 + πk,  k ∈ Z.

Оскільки

sin 0 = 0  і  0  [–^π/₂; –^π/₂], то 

arcsin 0 = 0, тому

x = πk,  k ∈ Z,

ВІДПОВІДЬ:  x = πk,  k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використаємо формулу коренів рівняння;

x = (–1)^k arcsin a + πk,  k ∈ Z.

Оскільки

x = (–1)^{k π}/₄ + πk,  k ∈ Z,

ВІДПОВІДЬ:

(–1)^{k π}/₄ + πk,  k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

sin x = 0,932.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За формулою:

x = (–1)^k arcsin a + πk,  k ∈ Z

x = (–1)^k arcsin (0,932) + πk,  k ∈ Z.

Де  arcsin (0,932) ≈ 1,2.

Наближене значення арксинуса знайдено за таблицями.

Отже:

x = ± х₀ + πk,  k ∈ Z,

де  х₀ ≈ 1,2.

ВІДПОВІДЬ:  ≈ 1,2

ПРИКЛАД:

Знайти найменший розв’язок рівняння:

√͞͞͞͞͞2  – 2sin ^πх/₉ = 0,

який задовольняє умову

0 < х < 10.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Запишемо рівняння у вигляді:

тоді

^πх/₉ =(–1)^{k π}/₄ + πk,  k ∈ Z;

х = (–1)^{k 9}/₄ + 9k,  k ∈ Z.

Якщо  k < 0, то  x < 0;

якщо  k = 0, то  х = (–1)^{0 9}/₄ + 9 ∙ 0 = 2,25,

якщо, k = 1, то  х = (–1)^{1 9}/₄ + 9 ∙ 1 =

–2,25 + 9 = 6,75.

Оскільки

0 < x < 10,

то найменший розв’язок з цього проміжку дорівнює  2,25.

ВІДПОВІДЬ:  2,25

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Функція синус непарна. Тому

За формулою:

x = (–1)^k arcsin a + πk,  k ∈ Z,

^х/₂ – ^π/₁₀ = (–1)^k (–^π/₄) + πk,  k ∈ Z,

х = ^π/₅ + (–1)^{k+1 π}/₂ + 2πk,  k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:

^π/₅ + (–1)^{k+1 π}/₂ + 2πk,  k ∈ Z

Розв’язання рівняння  cos x = а.

Якщо  |а| ≤ 1, то розв’язки цього рівняння визначаються за формулою:

x = ± arccos а + 2πn,

де  n = 0; ±1; ±2; …

Зокрема,

при  а = 0   x = ^π/₂ (2n + 1);

при  а = +1   x = 2πn;

при  а = –1   x = π(2n + 1).

Оскільки

–1  ≤ cos x ≤ 1

для будь-якого  х, то якщо  а ˃ 1  або  а < –1, рівняння 

cos x = а 

не має коренів.

Для того, щоб розв’язати рівняння  cos x = а, досить знайти на одиничному колі або графіку відповідної функції такі точки, абсциси (ординати) яких дорівнюють  а. Якщо пряма  х = а  перетинає одиничне коло (графік) у точках  М_α  і  М_β, то кути  α  і  β  є коренями рівняння 

cos x = а.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

cos x = 0,

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За формулою:

x = ± arccos а + 2πn

x = ± arccos 0 + 2πn, k ∈ Z,

або

x = ± ^π/₂ + 2πk, k ∈ Z,

запишемо відповідь у вигляді:

x = ^π/₂ (4k ± 1),  k ∈ Z.

{(4k ± 1),  k ∈ Z } – це множина непарних чисел, тобто множина:

{(2n + 1),  n ∈ Z }.

Тому відповідь можна записати так:

x = ^π/₂ (2n + 1),  n ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:

^π/₂ (2n + 1),  n ∈ Z

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

2 cos x = 1,

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Запишемо рівняння у вигляді:

cos x = ¹/₂.

x = ±arccos ¹/₂ + 2πk,  k ∈ Z;

x = ± ^π/₃ + 2πk,  k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:  ± ^π/₃ + 2πk,  k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

cos x = –0,2756.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За формулою:

x = ± arccos а + 2πn

x = ± arccos (–0,2756) + 2πn.

Значення  arccos (–0,2756)  знаходимо за допомогою калькулятора. Воно наближено дорівнює  1,8500.

Отже:

x = ± х₀ + 2πn  (n ∈ Z),

де  х₀ ≈ 1,8500.

ВІДПОВІДЬ:  ≈ 1,8500

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За формулою:

x = ± arccos а + 2πn

тобто

 2x –  ^π/₄ = ± ⁵/₆ π + 2πn, n ∈ Z,

звідки

х = ^π/₈ ± ^5π/₁₂ + πn, n ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ: ^π/₈ ± ^5π/₁₂ + πn, n ∈ Z

Розв’язання рівняння  tg x = а.

Має розв’язки при будь-якому дійсному значенні  а, що визначаються за формулою:

x = arctg а + πn,

де  n = 0; ±1; ±2; …

Для будь-якого дійсного числа  а  на проміжку  (–^π/₂; ^π/₂)  існує тільки один кут  α  такий, що  tg α = а. Це кут 

α = arctg а + πk, k ∈ Z.

Враховуючи періодичність функції  у = tg x, одержимо формулу коренів рівняння  tg x = а:

x = arctg а + πk, k ∈ Z.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

tg x = √͞͞͞͞͞3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За формулою

x = arctg а + πk, k ∈ Z

знаходимо розв’язок:

x = arctg √͞͞͞͞͞3 + πk, k ∈ Z,

бо  arctg √͞͞͞͞͞3 = ^π/₃,

приходимо до остаточної відповіді:

x = ^π/₃ + πk, k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:  ^π/₃ + πk, k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

tg x = 5,177.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За формулою

x = arctg а + πk, k ∈ Z

знаходимо розв’язок:

x = arctg 5,177 + πk, k ∈ Z,

за допомогою калькулятора знаходимо що

arctg 5,177 ≈ 1,3800.

ВІДПОВІДЬ:  ≈ 1,3800

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

tg(5x + ^π/₄) = √͞͞͞͞͞3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

5x + ^π/₄ = arctg √͞͞͞͞͞3 + πk,  k ∈ Z,

5x + ^π/₄ = ^π/₃ + πk,  k ∈ Z,

5x = ^π/₁₂ + πk,  k ∈ Z,

x = ^π/₆₀ + ^πk/₅,  k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:  ^π/₆₀ + ^πk/₅,  k ∈ Z

Розв’язання рівняння  ctg x = а.

Має розв’язки при будь-якому дійсному значенні  а, що визначаються за формулою:

x = arcctg а + πn,

де  n = 0; ±1; ±2; …

Для будь-якого дійсного числа  а  на проміжку  (0; π)  існує тільки один кут  α  такий, що  сtg α = а. Це кут 

α = arcсtg а + πk, k ∈ Z.

Враховуючи періодичність функції  у = сtg x, одержимо формулу коренів рівняння  сtg x = а:

x = arcctg а + πk, k ∈ Z.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

сtg x = √͞͞͞͞͞3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розв’язуємо за допомогою формули

x = arcсtg а + πk, k ∈ Z

знаходимо розв’язок:

x = arcсtg √͞͞͞͞͞3  + πk, k ∈ Z,

x =  ^π/₆ + πk, k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:

^π/₆ + πk, k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

сtg x = 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За допомогою формули

x = arcctg а + πk, k ∈ Z

знаходимо розв’язок:

x = arсctg 1 + πk, k ∈ Z,

x =  ^π/₄ + πk, k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:

^π/₄ + πk, k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

сtg x = –√͞͞͞͞͞3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Це рівняння рівносильне рівнянню:

Яке розв’язуємо за допомогою формули

x = arctg а + πk, k ∈ Z

знаходимо розв’язок:

x = – ^π/₆ + πk, k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:

– ^π/₆ + πk, k ∈ Z

Рівняння

sin (ax + b) = m,

cos (ax + b) = m,

tg (ax + b) = m,

ctg (ax + b) = m

зводяться до найпростіших заміною

ax + b = t.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

cos 4x = –¹/₂,

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  4x = t, тоді 

cos t = –¹/₂;

t = ±arccos (–¹/₂) + 2πk,  k ∈ Z;

t = ± ^2π/₃ + 2πk,  k ∈ Z.

Повернемося до заміни:

4x = ± ^2π/₃ + 2πk,  k ∈ Z;

x = ± ^π/₆ + ^πk/₂,  k ∈ Z.

ВІДПОВІДЬ:  ± ^π/₆ + ^πk/₂,  k ∈ Z

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

sin(π∙ 4^х) = 0,

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використаємо формулу для випадку 

sin t = 0, t = πn.

Отже,

π ∙ 4^x = πn; 4^x = n, n ∈ N,

бо показникові функція набуває лише додатних значень, звідки  

x = log₄n.

ВІДПОВІДЬ:  log₄n

Рівняння, що зводяться до квадратних.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

4соs^{2 х}/₂ – 8соs ^х/₂ + 3 = 0,

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Уведемо нову змінну:

соs ^х/₂ = t,

звідки одержимо рівняння:

4t² – 8t + 3 = 0;

t₁ = 0,5,  t₂ = 1,5.

Повернемося до зміни та розв’яжемо одержане рівняння:

1)  соs ^х/₂ = 0,5,

 ^х/₂ = ±arccos ¹/₂ + 2πk,  k ∈ Z,

^х/₂ = ± ^π/₃ + 2πk,  k ∈ Z,

x = ± ^2π/₃ + 4πk,  k ∈ Z.

2)  соs ^х/₂ = 1,5,

x ∈ ∅

ВІДПОВІДЬ:  ± ^2π/₃ + 4πk,  k ∈ Z

Про розв’язання тригонометричних рівнянь.

При розв’язанні тригонометричних рівнянь, як і при розв’язанні алгебраїчних рівнянь, передусім слід визначити область допустимих значень невідомого. Для тригонометричних рівнянь такою областю можуть бути тільки дійсні числа. Функції  sin x  і  cos x  визначені при всіх дійсних значеннях х, функція  tg x  визначена при

x ≠ ^π/₂ (2n + 1),

де  n = 0; ±1; ±2; … ,

і функція  сtg x  визначена при

x ≠ πn

де  n = 0; ±1; ±2; …

Крім того, при визначенні області допустимих значень невідомого слід врахувати, що дробовий вираз існує, якщо знаменник його відмінний від нуля.

При перетвореннях рівнянь область допустимих значень їх невідомого може змінюватися. Якщо вона розширюється, то можна одержати зайві (стороні) розв’язки, які з множини знайдених можуть бути виключені перевіркою одержаних розв’язків за умовою рівняння. А якщо область допустимих значень невідомого при перетвореннях рівняння звужується, то корені можна втратити, тому необхідно дослідити, чи немає їх серед тих значень, на які звузилась область допустимих значень невідомого даного рівняння. Іноді це робиться безпосередньо перевіркою за вихідним рівнянням.

ПРИКЛАД:

Розв’язати рівняння:

соs(π – х) + 2соs(^π/₃ + х) = √͞͞͞͞͞3,

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використовуючи формули зведення та формулу:

cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β,

одержимо:

ВІДПОВІДЬ:  – ^π/₂ + 2πn,  n ∈ Z

Завдання до уроку 1.

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки

• Урок 2. Методи розв'язування тригонометричних рівнянь з функціями одного аргументу
• Урок 3. Тригонометричні рівняння з функціями різних аргументів
• Урок 4. Графічні методи розв'язання тригонометричних рівнянь
• Урок 5. Системи тригонометричних рівнянь
• Урок 6. Тригонометричні нерівності
• Урок 7. Графічне рішення тригонометричних нерівностей