вторник, 27 февраля 2018 г.

Урок 19. Об’єми подібних тіл

Подібність многокутников.

Два многокутника називаються подібними, якщо вони мають відповідно рівні многогранних куті і відповідно подібні грані.

Відповідні елементи подібних багатогранників називаються спорідненими. У подібних багатогранників двогранні кути рівні і однаково розташовані; відповідні ребра пропорціональні.

Якщо в піраміді провести січну площину паралельно до основи, то вона відтинає від неї другу піраміду, подібну до даної.
Поверхні подібних багатокутників відносяться, як квадрати відповідних лінійних елементів цих багатокутників.

Подібні циліндри і конуси.

Два циліндри, конуси або зрізані конуси називаються подібними, якщо подібні їх осьові перерізи.

Об'єми подібних тіл.

Нехай  Т  и  Т' – два простих подібних тіла. Це означає, що існує перетворення подібності, при якому тіло  Т  переходить у тіло  Т'. Позначимо через  k  коефіцієнт подібності.
Розіб'ємо тіло  Т  на трикутні піраміди  Р1, Р2, …, Рn Перетворення подібності, що переводить тіло  Т  у  тіло  Т'  переводить піраміди  Р1, Р2, …, Рn  у піраміди  Р1', Р2', …, Рn'. Ці піраміди складають тіло  Т'  й тому об'єм тіла  Т'  дорівнює сумі об'ємів пірамід  Р1', Р2', …, Рn'.   
Так як піраміди  Р1'  й  Р1  подібні і коефіцієнт подібності дорівнює  k, то відношення їхніх висот дорівнює  k, а відношення площ їхніх основ дорівнює  k2. Отже, відношення об'ємів пірамід дорівнює  k3. Так як тіло  Т  складено з пірамід  Р1, а тіло  Т'  складено з пірамід  Р1', то відношення об'ємів тіл  Т'  і  Т  теж дорівнює  k3.  
Число  k  – коефіцієнт подібності – дорівнює відношенню відстаней між будь-якими двома відповідними парами точок при перетворенні подібності. Отже, це число дорівнює відношенню будь-яких двох відповідних лінійних розмірів тіл  Т'  і  Т. Таким чином, ми приходимо до наступного висновку: 

Об'єми двох подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.

Квадрати об'ємів подібних тіл відносяться, як куби площ відповідних граней.

Об'єми подібних циліндрів, конусів і зрізаних конусів відносяться, як куби їх відповідних лінійних елементів (радіусів основ, висот, твірних).

Об'єми куль відносяться, як куби їх радіусів або діаметрів.

ЗАДАЧА:

Через середину висоти піраміди проведена площина, паралельна основи. У якому відношенні вона ділить об’єм піраміди ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення:
Як ми знаємо, проведена площина відтинає подібну піраміду. Коефіцієнт подоби дорівнює відношенню висот, тобто  1/2. Тому об’єми пірамід відносяться як
Отже, площина ділить нашу піраміду на частини, об’єми яких відносяться як
ЗАДАЧА:

Об'єм конуса дорівнює  16. Через середину висоти паралельно підставі конуса проведено переріз, який є підставою меншого конуса з тією самою вершиною. Знайдіть об'єм меншого конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Менший конус подібний до більшого з коефіцієнтом 0,5. Об'єми подібних тіл відносяться як куб коефіцієнта подібності. Тому обсяг меншого конуса у вісім разів менший за обсяг більшого конуса.

ВІДПОВІДЬ:  2

ЗАДАЧА:

У посудині, що має форму конуса, рівень рідини досягає 1/2 висоти. Об'єм рідини дорівнює  54 мл. Скільки мілілітрів рідини потрібно долити, щоб повністю наповнити посудину ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення:
1 спосіб.

Об'єм рідини дорівнює обсягу займаної частини конуса. Тому:
H/2 – висота рівня рідини, якщо висота конуса дорівнює  Н,
R/2 – радіус основи конуса, чий об'єм займає рідину, оскільки трикутники  АОD  і  АВС  подібні і коефіцієнт подібності дорівнює  2. Звідси:
Об'єм конуса є
Значить долити потрібно

432 – 54 = 378 (мл).

2 спосіб

Можна міркувати і так:

Відсічений конус, що утворився при перетині вихідного конуса площиною паралельної основи і перетинає висоту конуса посередині, подібний до вихідного з коефіцієнтом подібності

1 : 2.

Отже, обсяг вихідного конуса є  8  обсягів відсіченого конуса (обсяги подібних тіл знаходяться у відношенні  k3, де  k – коефіцієнт подібності). Отже, на усічений конус припадає  7  обсягів відсіченого (малого) конуса. Тобто об'єм усіченого конуса (а значить об'єм рідини, що потрібно долити) є

7 54 = 378.

ВІДПОВІДЬ:  378 мл

ЗАДАЧА:

У зрізаній трикутній піраміді через сторону верхньої основи проведено площину паралельно бічному ребру. У якому відношенні розділиться об’єм зрізаної піраміди, якщо відповідні сторони основ пропорційні числам  1 : 3 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Нехай  АВСА1В1С1 –  зрізана піраміда,

A1B1ML CC1, ОО1 = Н.

Якщо відповідні сторони основ пропорційні числам  1 : 3, то площі основ будуть пропорційні числам  1 : 9.

S1 – площа  ∆ А1В1С1,

S2 – площа  ∆ АВС.
V1 – об’єм зрізної піраміди.

V1 = 1/3 H (S1 + S2 + √͞͞͞͞͞S1S2) =

= 1/3 H (S1 + 9S1 + √͞͞͞͞͞S19S1) = 1/3 H (13S1).

V2 – об’єм похилої призми  А1В1С1LMC:

V2 = S1 H.

V3 – об’єм фігури, що залишилася:

V3 = V1 V2 = 1/3 H (13S1) – S1 H =

= 1/3 10S1 H.
ВІДПОВІДЬ:  3/10

ЗАДАЧА:

Площі основ зрізаної піраміди  S1  і  S2, а її об'єм V. Визначити об'єм повної піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  S1 > S2. Позначимо об'єм повної піраміди через  V1, об'єм піраміди, що доповнює дану зрізану піраміду до повної, через  V2. Тоді:
або
Складаючи похідну пропорцію, дістанемо:
Враховуючи, що  

V1V2 = V

знаходимо:
Звідки:
ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:

Площі основ зрізаної піраміди дорівнюють  а2  і  b2. Знайти площу перерізу, що паралельний до площин основ зрізаної піраміди і ділить її об'єм пополам.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В зрізаній піраміді  АС1  (для простоти рисунка розглядається трикутна піраміда) дано:

Треба знайти площу перерізу  А'В'С'  (пл. АВС пл. А'В'С'), який ділить зрізану піраміду на рівновеликі за об'ємом частини.
Доповнимо зрізану піраміду до повної. Піраміди  

SАВС, SА'В'С', SA1B1C1 – подібні.

Позначимо площу шуканого перерізу  А'В'С'  через  х2, а об'єми пірамід  

SАВС, SА'В'С'  і  SA1B1C1  

відповідно Va, Vx, Vb. Тоді:
або
де  t – деяке число, що позначає величину цих відношень. Тоді:

Va = a3t,  
Vx = x3t,  
Vb = b3t.

За умовою задачі:

Va  – Vx = Vx  – Vb,

або

a3t – x3t = x3t – b3t,

звідки:

2x3 = a3 + b3.

отже,
ВІДПОВІДЬ:
Завдання до уроку 19
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий