f(–x) = f(x).
Или, другими словами:
Чётной называется
функция, которая не меняет своего значения при изменении знака независимой
переменной.
Например, функция f(x) = х2 и вообще f(x) = х2k при любом
натуральном k чётная. Эта
функция определена на множестве R,
и поэтому, область определения содержит вместе с любым х и число –х.
Кроме того,
f(–x) = (–х)2k = х2k = f(x).
График такой
функции симметричен относительно оси ординат.
Функция f называется
нечётной, если одновременно с каждым значением переменной х из области определения f значение (–х) также входит в область определения этой
функции и при этом выполняется равенство
f(–x) = –f(x).
Или, другими словами:
Нечётной
называется функция, которая меняет своё значение при изменении знака
независимой переменной.
Например, функция f(x) = х3 и вообще f(x) = х2k+1 при любом
натуральном k нечётная. Действительно,
область определения этой функции – множество
R, и поэтому, область определения содержит вместе с любым х и число –х.
Кроме того
f(–x) = (–х)2k+1 = –х2k+1 = –f(x).
График такой
функции симметричен относительно начала координат.
Индифферентной называется функция, которая не обладает симметрией.
Из тригонометрических функций косинус и секанс – чётные функции, а синус
тангенс, котангенс и косеканс – нечётные функции.
sin α, tg α, ctg α и cosec α нечётные, а
cos α и sec α чётные, то есть
sin (–α) = –sin α;
cos (–α) = +cos α;
tg (–α) = –tg α;
ctg (–α) = –ctg α;
sec (–α) = +sec α;
cosec (–α) = –cosec α.
Для любого α
точки Рα и Р-α
ричные относительно
оси абсцисс. Отсюда следует, что их абсциссы совпадают, а ординаты противоположные. По
определению косинуса и синуса это означает, что при любом α выполняется равенстваcos α = cos (–α),
sin (–α) = –sin α.
Для тангенса и
котангенса имеем:Функции, не являющиеся ни чётными, ни нечётными, называются функциями
общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде
суммы чётной и нечётной функции.ПРИМЕР:
Функция f(x) =
x2 – x является суммой чётной функции f1 = x2 и нечётной f2 = –x.
Некоторые свойства:
– произведение и частное двух функций
одинаковой чётности – чётная функция;
– произведение и частное двух функций разной
чётности – нечётная функция;
– сумма и разность чётных функций – чётная
функция;
– сумма и разность нечётных функций – нечётная функция.
ПРИМЕР:
Найти значения
тригонометрических функций угла
α = – π/3.
РЕШЕНИЕ:
Используя нечётность функций
sin α, cosec α, tg α и ctg α,
получим:
Используя чётность функций cos α и sec α, получим:
cos
(–π/3) = cos π/3 = 1/2,
sec
(–π/3) = sec π/3 =
2.
ПРИМЕР:
Найти значение
sin (–72°).
РЕШЕНИЕ:
sin (–72°) = – sin 72° = –0,9511.
ОТВЕТ: –0,9511.
ПРИМЕР:
Найти значение
соs (–108°).
РЕШЕНИЕ:
соs (–108°) = соs 108° =
соs (90° + 18°) =
– sin 18° = –0,3090.
ОТВЕТ: –0,3090.
ПРИМЕР:
Исследовать на чётность функцию:
у = sin х ∙ соs х.
РЕШЕНИЕ:
у(–х) = sin (–х) ∙ соs (–х) =
–sin х ∙ соs х = –у(х).
Следовательно,
функция
у = sin х ∙ соs х.
является
нечётной.
ПРИМЕР:
Исследовать на чётность функцию:РЕШЕНИЕ:Следовательно,функция является
чётной.ПРИМЕР:
Исследовать на чётность функцию:
у = tg х + сtg х.
РЕШЕНИЕ:
у(–х) = tg (–х) + ctg (–х) =
–tg х – сtg х = –(tg х + сtg х) = –у(х).
Следовательно,
функция
у = tg х + сtg х.
является
нечётной.
ПРИМЕР:
Исследовать на чётность функцию:
у = x – sin х.
РЕШЕНИЕ:
у(–х) = –x – sin (–х) =
–x + sin х = –(x – sin x) = –у(х).
Следовательно,
функция
у = x – sin х.
является
нечётной.
ПРИМЕР:
Исследовать на чётность функцию:
у = sin х – соs х.
РЕШЕНИЕ:
у(–х) = sin (–х) – соs (–х) =
–sin х – соs х.
у(–х) ≠ у(х),
у(–х) ≠ –у(х).
Следовательно,
функция
у = sin х – соs х
не
является ни чётной, ни нечётной, то есть это функция общего вида
ПРИМЕР:
Функция f(x)
= x2 + cos x является
чётной, так как
f(–x)
= (–x)2 + cos (–x) =
=
x2 + cos x = f(x).
ПРИМЕР:
Доказать следующее утверждение:
sin (–721°) = –sin 1°.
Так как синус – нечётная и периодическая функция с
минимальным периодом 360°, то получим
sin (–721°) = –sin 721° =
= –sin (720° + 1°) = –sin 1°.
ПРИМЕР:
Доказать следующее утверждение:
cos (–13π) = –1.
Так как косинус – чётная и периодическая функция с
минимальным периодом 2π, то получим
cos (–13π) = cos 13π =
cos (π
+ 6 ∙ 2π) = cos π = –1.
