ВИДЕО УРОК
R(sin x, cos x, tg x, ctg x, sin 2x, cos 2x, tg 2x, ctg 2x …) = 0,
де R – символ раціональної функції.
R(sin x, cos x, sin 2x, cos 2x …) = 0.
Тригонометричні рівняння з різними аргументами і одночасно, з різними функціями розв'язують зведенням їх до рівнянь з одним аргументом.
Рівняння, ліві частини яких розкладаються на множники.
Якщо ліву частину можна розкласти на множники
R1, R2 … Rn = 0,
де R1, R2 … Rn – раціональні функції тригонометричних функцій, то досить розв'язати кожне з рівнянь
R1 = 0, R2 = 0, … Rn = 0
і об’єднати загальні розв'язки в одну множину, яка й буде розв'язком вихідного рівняння. При цьому можна одержати сторонні розв'язки, тобто ті, при яких при найми один з множників лівої частини рівняння (R1, R2 … Rn) втрачає смисл.
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Згрупуємо члени лівої частини рівняння так:
(sin x + sin 4x) + (sin 2x + sin 3x) = 0.
і кожну з сум у дужках перетворимо в добуток, скориставшись формулою:
Винесемо за дужки
і відкинемо множник 2:
Перетворивши суму косинусів у добуток,
одержимо:
З рівнянь:
знайдемо розв'язки.
x = 2/5 πn,
Оскільки всі множники лівої частини даного рівняння мають смисл при всіх значеннях х, то сторонніх розв'язків тут немає.
ВІДПОВІДЬ:
x = 2/5 πn,
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
sin2 x + sin2 2x = sin2 3x.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Перенесемо всі члени рівняння в ліву частину. Одержимо:
sin2 x + sin2 2x – sin2 3x = 0.
Згрупувати перший і третій члени даного рівняння і розклавши цю різницю квадратів на множники, знайдемо:
(sin x + sin 3x)(sin x – sin 3x) + sin2 2x = 0.
або
–2 sin 2x cos x ∙ 2sin x cos 2x + sin2 2x = 0.
Враховуючи, що
2 sin x cos x = sin 2x,
маємо
–2 sin2 2x cos 2x + sin2 2x = 0
або
sin2 2x (1 – 2 cos 2x) = 0.
Останнє рівняння розпадається на
sin 2x = 0,
звідси
x = ± π/6 + πn,
ВІДПОВІДЬ:
x = ± π/6 (6n ± 1),
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
2 sin 3x = 3 cos x + cos 3x.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Згідно з формулами:
sin 3α = 3sin α – 4sin3 α,
sin 3х = 3 sin х – 4 sin3 х,
Рівняння набуде вигляду:
2 (3 sin х – 4 sin3 х) = 3 cos x + 4 cos3 х – 3 cos х.
або
6 sin х – 8 sin3 х – 4 cos3 х = 0.
Оскільки cos x ≠ 0, то, розділивши обидві частини рівняння на
2 cos3 х,
одержимо
або
3 tg x(1+ tg2 x) – 4 tg3 x – 2 = 0
і після зведення подібних членів
tg3 x – 3 tg x + 2 = 0.
Розкладаючи ліву частину рівняння на множники, знайдемо, що
(tg x + 2) (tg x – 1)2 = 0,
звідки
tg x = –2,
а отже,
x = –arctg 2 + πn
ВІДПОВІДЬ:
x = –arctg 2 + πn
Розв’язати
рівняння:
sin
5x + sin x + 2 sin2 x =
1.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Перенесемо
одиницю в ліву частину і, виконавши перетворення лівої частини, розкладемо її
на множники.
Застосуємо
до
sin
5x + sin x
соs2 x = 1 – sin2 x,
sin2 x = 1 – sin2 x – соs 2х,
2
sin2 x = 1 – соs 2х.
Тоді
рівняння набере вигляду:
2
sin 3х cos 2х + (1 – соs 2х) – 1 = 0.
І
далі:
2
sin 3х cos 2х + 1 – соs 2х – 1 =
2
sin 3х cos 2х – соs 2х = соs 2х
(2 sin 3х – 1).
соs
2х
(2 sin 3х – 1) = 0.
Тепер
завдання звелося до рішення сукупності рівнянь:
соs
2х = 0,
2х = π/2 + πn,
x
= π/4
+ πn/2,
n ∈
Z.
2
sin 3х – 1 = 0,
sin 3х = 1/2,
3х =
(–1)k arcsin 1/2
+ πk,
3х =
(–1)k π/6 + πk,
х
= (–1)k π/18 + πk/3, k ∈ Z.
ВІДПОВІДЬ:
π/4 + πn/2, n ∈ Z,
(–1)k π/18 + πk/3, k ∈ Z.
ПРИКЛАД:
Розв’язати
рівняння:
сos2 x + cos2 2x + cos2 3x
+ cos2 4x = 2.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
сos
2x + cos 4x + cos 6x
+ cos 8x = 0.
(сos
2x + cos 8x) + (cos 4x
+ cos 6x)
=
2 сos 5x cos 3x + 2 cos 5x
cos x =
2
сos 5x (cos 3x + cos x) =
2
сos 5x cos 2x cos x.
Приходимо
до рівняння
сos
5x cos 2x cos x = 0,
звідки
випливає
cos x = 0,
cos 2x
= 0,
сos
5x = 0,
і
відповідно
x
=
π/2 (2n + 1),
x
=
π/4 (2n + 1),
x
=
π/10 (2n + 1).
ВІДПОВІДЬ:
x
=
π/4 (2n + 1),
x
=
π/10 (2n + 1).
n
= 0; ±1; ±2; …
ПРИКЛАД:
Розв’язати
рівняння:
sin2 x – sin 2x = 0.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Після
заміни
sin 2x
на 2 sin x
соs x
зводиться
до рівняння
sin2 x – 2 sin x соs x = 0.
Розкладемо
ліву частину на множники:
sin x(sin x – 2 соs х) = 0,
звідки sin x = 0,
тобто
х = πn, n ∈ Z, або
sin x – 2 соs х = 0,
tg x = 2,
тобто,
х = arctg 2 + πn,
n ∈ Z,
х = x0
+ πn, n ∈ Z
де х0
= arctg 2 ≈ 1,11.
Можна
поділити обидві частини рівняння на соs2
x і дістати рівняння:
tg2x – 2tg x = 0.
Якщо
ділити на sin2
x, то треба врахувати,
що ті х,
при яких
sin x = 0
–
розв’язки даного рівняння. Тому до коренів рівняння
сtg
x – 1/2
= 0,
яке
ми дістали після ділення на sin2
x = 0, треба додати
корені рівняння
sin x = 0.
ПРИКЛАД:
Розв’язати
рівняння:
cos 3x
+ sin 2x – cos x = 0.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Розкладемо
ліву частину на множники:
–2 sin 2x ∙ sin x + sin 2x = 0,
sin 2x
(1 – 2 sin x) = 0.
sin 2x
= 0,
2x = πk, k ∈
Z,
x
=
πk/2, k
∈
Z.
1 – 2 sin x = 0,
sin x = 1/2,
x
= (–1)n π/6 + πn, n ∈ Z.
ПРИКЛАД:
Розв’язати
рівняння:
cos 3x
+ sin 2x – sin 4x = 0.
У
відповідь записати найменший додатний корінь (у градусах).
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
cos 3x
+ sin 2x – sin 4x = 0,
cos 3x
– 2 sin x cos 3x = 0,
cos 3x
(1 – 2sin x) = 0.
cos 3x
= 0, х
= π/6
+ πn/3, n ∈ Z.
1
– 2sin x = 0, x = (–1)k π/6 + πk, k ∈ Z.
Зобразимо множину розв’язків
х
= π/6
+ πn/3, n ∈ Z,
x
= (–1)k π/6 + πk, k ∈ Z
x
= (–1)k π/6 + πk, k ∈ Z
є
підмножиною множини
х
= π/6
+ πn/3, n ∈ Z.
тому
відповіддю є
х
= π/6
+ πn/3, n ∈ Z.
Найменший
додатний корінь дорівнює:
π/6
= 30°.
ВІДПОВІДЬ: π/6
= 30°
Тригонометричні рівняння, що розв'язуються перетворенням добутків тригонометричних функцій в суми.
До цього типу рівнянь, зокрема, належать рівняння:
що легко розкладаються на множники, якщо
m ± n = p ± q.
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
sin 2x sin 6x = sin 3x sin 5x.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
За допомогою формули
Перетворимо обидві частини рівняння в суми і перенесемо всі члени рівняння в ліву частину:
або
cos 4x – cos 2x = 0.
Скориставшись формулою:
Розкладемо ліву частину останнього рівняння на множники:
sin 3x sin x = 0,
звідси знаходимо:
sin 3x = 0,
отже,
x = πn
Оскільки друга серія розв'язків входить до складу першої, одержуємо остаточно:
x = πn/3.
ВІДПОВІДЬ:
x = πn/3,
Складність
розв’язування рівнянь цього типу полягає у формуванні відповіді. Основною
складністю при розв’язуванні дробово-раціональних тригонометричних рівнянь є
відбір його коренів.
ПРИКЛАД:
Знайдемо
область допустимих значень:
sin
2x ≠ 0,
2x ≠ πk, k ∈ Z,
x
≠ πk/2, k ∈ Z.
cos x = 0,
х = π/2 + πn, n ∈ Z.
cos 2x
= 0, х = π/4
+ πk/2, k ∈ Z.
Зобразимо
на одиночному колі точки, які відповідають кореням рівняння
cos x = 0,
х = π/2 + πn, n ∈ Z.
cos 2x
= 0,
х
= π/4
+ πk/2, k ∈ Z
– корені рівняння.
ВІДПОВІДЬ:
π/4 + πk/2, k ∈
Z
Розв’язування рівнянь
на застосування обмеженості функцій
у = sin x і у = cos x.
ПРИКЛАД:
Розв’язати
рівняння:
cos 3x
+ cos 5х/2
= 2.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Маємо:
|cos 3x| ≤ 1,
|cos 5х/2|
≤ 1, тоді
cos 3x
+ cos 5х/2
≤ 2,
до
того ж рівність виконується лише тоді, коли:
cos 3x = 1, х =
2πn/3, n ∈ Z,
cos 5х/2
= 1,
x = 4πk/5, k ∈ Z.
Прирівнюючи
праві частини цих рівностей, одержимо:
2πn/3 = 4πk/5,
звідки
10πn = 12πk, n ∈ Z, k ∈ Z.
n =
6k/5, n ∈
Z, k ∈
Z.
Оскільки n і k – цілі числа, то в праву частину
замість k можна підставити лише цілі числа кратні 5.
Тому останнє рівняння має розв’язки лише у цілих числах виду k = 5l, l ∈ Z. Підставляючи значення k = 5l
в розв’язок системи x = 4πk/5,
одержуємо, що
x =
4πl,
l
∈ Z.
ВІДПОВІДЬ:
4πl, l ∈ Z
Тригонометричні
рівняння з параметрами.
ПРИКЛАД:
Розв’язати
рівняння:
а
sin2 x + 2(а + 2) sin x + 8 = 0.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Задане
рівняння є або лінійним відносно sin x, якщо а = 0, або квадратним відносно sin x , якщо а ≠ 0.
1. а = 0,
4 sin x + 8 = 0,
sin x = –2.
х
∈ ∅.
2. а ≠ 0,
Уведемо
заміну sin x= t
й одержимо:
а
t2 + 2(а + 2)t + 8 = 0,
1) sin x =
–2, х
∈ ∅.
2) sin x = – 4/a.
Якщо
a ∈ (–∞; –4] ∪
[4; +∞),
то
x
= (–1)k arcsin (–4/a) + πk,
k ∈
Z.
Якщо a ∈
(–4; 4),
Завдання до уроку 3.
- Урок 1. Найпростіші тригонометричні рівняння
- Урок 2. Методи розв'язування тригонометричних рівнянь з функціями одного аргументу
- Урок 4. Графічні методи розв'язання тригонометричних рівнянь
- Урок 5. Системи тригонометричних рівнянь
- Урок 6. Тригонометричні нерівності
- Урок 7. Графічне рішення тригонометричних нерівностей
Комментариев нет:
Отправить комментарий