Урок 3. Диференціювання функції

ВИДЕО УРОК

Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Якщо границя

кінцева, то функція  y = f (x)  є диференційованою в точці  Δх.

Функції не диференційована в точках розриву.

По-перше, вона може бути невизначена в такій точці, отже, приріст  Δх  задати неможливо.

По-друге, практично завжди просто не існує загальної границі

З диференціювання функції в точці  x₀  необхідно (обов'язково) слід її безперервність в даній точці.

Протилежне твердження в загальному випадку невірно, тобто з безперервності функції диференціювання слід далеко не завжди.

ПРИКЛАД:

Функція

у = |х|

в точці  х₀.

Якщо розглянути збільшення  Δх  справа, то правобічна границя буде дорівнювати

і, відповідно, отримуємо дотичну  у = х, збігається з правою частиною графіка

у = |х|.

Якщо ж додати приріст аргументу  Δх  вліво, виходить зовсім інший результат

і, інша дотична  у = –х, яка збігається з лівою частиною графіка

у = |х|.

Ні загальної границі, ні загальної дотичній. Таким чином, функція

у = |х|

хоч і неперервна в точці  х₀ = 0, але не диференційована в ній.

Коли границя

дорівнює << плюс >> або << мінус нескінченності >>, то похідна теж існує і дотична до графіка функції буде паралельна осі  ОY.

ПРИКЛАД:

Дотичної до графіка функції

в точці  х₀ = 0  є сама вісь ординат.

Якщо односторонні межі нескінченні і різні за знаком, то єдина дотична і похідна існують.

ПРИКЛАД:

Квадратний корінь з модуля <<ікс>> в точці  х₀ = 0.

Диференціал функції в точці і його геометричний сенс.

Диференціалом функції  dy  в точці  х₀  називають головну лінійну частину приросту функції  Δу.

На кресленні диференціал  dy  в точці  х₀  дорівнює довжині відрізка  NM.

Візьмемо в руки лінійку і докладемо її ребром до монітора на пряму LN. Рухаючи лінійку вліво до точки  х₀, зменшуємо приріст  ∆x.
За малюнком добре видно, що зі зменшенням Δx  зменшується і приріст функції  Δу = LN (малинові лінії). При цьому відрізок  LМ займає все меншу і меншу частину приросту функції  Δу = LN, а диференціал  dy = NМ – все більшу і більшу його частину, саме тому його і називають головною частиною приросту функції. Настільки головною, що при нескінченно малому  Δx  диференціал прагне до повного приросту функції

(Відповідно відрізок  LМ  буде нескінченно малим).

Виведемо формулу для наближених обчислень за допомогою диференціала.

Розглянемо прямокутний трикутник  КNM  і тангенс кута нахилу дотичної

Позначивши диференціал в даній точці  х₀  коректніше через

d[f(х₀)],

і враховуючи, що

tg φ = f '(х₀),

отримуємо:

dy = tg φ ∙ ∆x

d[f (х₀)] = f '(х₀) ∙ ∆x

ідея формули наближених обчислень

 f (х₀ + ∆x) ≈ f (х₀) + d[f (х₀)]

полягає в тому, щоб точне значення

f (х₀ + ∆x)

функції (дивіться на вісь ординат основного креслення) замінити сумою  f(х₀)  і відрізка 

NM = dy = d[f (х₀)].

Відрізок  NM  на головному кресленні істотно << НЕ дістає >> до повного збільшення  LN.

У демонстраційній ілюстрації вибрано велике значення Δx, щоб все було видно. На практиці ж, ніж приріст  Δx менше – тим диференціал краще << дотягнеться >> до повного приросту функції (дивіться маленький малюнок), і тим точніше спрацює формула:

f (х₀ + ∆x) ≈ f (х₀) + d[f (х₀)].

Гранично мале значення  Δx  часто позначають через  dy, тому формула

d[f (х₀)] = f '(х₀) ∙ ∆x

набуває вигляду:

d[f (х₀)] = f '(х₀) ∙ dx.

Тоді:

До цих пір мова йшла про диференціалі в єдиній точці  х₀. Але як  х₀ можна взяти будь-яку точку  х  розглянутого інтервалу.
З цих міркувань в рівність

проведемо заміну  х₀ = х  і отримаємо:

А це не що інше, як позначення похідної

Забути поставити штрих (там, де треба), або намалювати зайвий штрих (там, де не треба) – груба помилка. Функція і її похідна – це дві різні функції.
Символ

використовується двояко – і як цілий символ похідної, і як приватна диференціалів.

Друга інтерпретація активно використовується в ході рішення диференціальних рівнянь.

Що в широкому сенсі позначає дієслово << диференціювати >> ?

Диференціювати – це значить виділити будь-якої ознака.

диференціюючи функцію

y = f(x),

ми << виділяємо >> швидкість її зміни у вигляді похідної функції

y' = f ' (x).

ПРИКЛАД:

Розглянемо дві лінійні функції:

f(x) = 3х – 2,

g(x) = 20х.

Знайдемо їх похідні:

f' (x) = (3х – 2)' = 3,

g' (x) = (20х)' = 20.

Обидві похідні позитивні, а значить, функції зростають на всій області визначення (графіки йдуть << знизу вгору >>). Похідна – це міра швидкості зміни функції. оскільки

g' (x) ˃ f ' (x),

то функція

g(x) = 20х

росте швидше (причому значно) функції

f(x) = 3х – 2,

і, відповідно, графік

g(x) = 20х

набагато крутіший.

Дотична до графіка лінійної функції в кожній точці збігається з самим графіком даної лінійної функції.

Зазвичай при знаходженні похідних спочатку використовуються правила диференціювання, а потім – таблиця похідних елементарних функцій.

Таблиця похідних елементарних функцій.

Слід звернути увагу, що похідна статечної функції – це найпоширеніша формула на практиці. Будь-радикал (корінь), потрібно представити у вигляді

для застосування формули:

(xⁿ)' = n ∙ x^n-1.

ПРИКЛАД:

Правила диференціювання і таблиця похідних з'явилася завдяки єдиній формулі:

ПРИКЛАД:

Знайти похідну функцію:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаходимо в таблиці похідних елементарних функцій.

Для того щоб знайти похідну функцію, потрібно за певними правилами перетворити її в іншу функцію.

Це зафіксовано в таблиці. Єдиним винятком є експоненціальна функція

яка перетворюється сама в себе.

Зазвичай при знаходженні похідних спочатку використовуються правила диференціювання, а потім – таблиця похідних елементарних функцій.

Правила диференціювання.

Множник-константу можна винести за знак похідної.

(Сu)' = С(u)'

ПРИКЛАД:

Знайти похідну функцію:

y = 3cos x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дивимося в таблицю похідних. Похідна косинуса там є, але у нас  3cos x.

Вирішуємо:

y' = (3cos x)'.

Виносимо постійний множник за знак похідної:

y' = (3cos x)' = 3(cos x)'.

А тепер перетворюємо косинус по таблиці:

y' = 3(cos x)' = 3(–sin x).

Виносимо знак мінус за дужки і позбавляємося від дужок:

y' = 3(–sin x) = –3sin x.

ВІДПОВІДЬ:  –3sin x

Правило диференціювання суми.

(u ± v)' = (u)' ± (v)'

Похідна алгебраїчній суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій.

Якщо дві диференціюються відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні.

(u + С)' = u'

ПРИКЛАД:

Знайти похідну функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Перша дія, яке завжди виконується при знаходженні похідної, полягає в тому, що полягає в дужки все вираз і ставиться штрих справа вгорі.

Потім укладаємо в дужки кожний доданок і ставимо штрих справа вгорі. Для диференціювання все коріння, ступеня потрібно представити у вигляді

а якщо вони знаходяться в знаменнику, то перемістити їх вгору

Постійні множники (числа) виносимо за знак похідної

Всі функції, що знаходяться під штрихами, є елементарними табличними функціями. За допомогою таблиці здійснюємо перетворення.

Від похідних позбулися, далі спростимо отриманий результат.

Правило диференціювання добутку.

(u ∙ v)' = u' ∙ v + v' ∙ u

Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший.

Постійний множник можна виносити за знак похідної.

(Сu)' = С ∙ u'

Похідна добутку кількох диференціюються дорівнює сумі добутків похідною кожного із співмножників на всі інші

(u v w)' = u' vw + v' uw + w' uv

ПРИКЛАД:

Знайти похідну функції:

y = x³ arcsin x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тут добуток двох функцій, що залежать від  х.

y' = (x³ arcsin x)' = (x³)' arcsin x + x³ (arcsin x)' =

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Знайти похідну функції:

y = (x² + 7x – 1) log₃ x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У даній функції міститься сума

x² + 7x – 1

і добуток двох функцій - квадратного тричлена

(x² + 7x – 1)

і логарифма

log₃ x.

Спочатку використовуємо правило диференціювання добутка.

y' = ((x² + 7x – 1) log₃ x)' =

(x² + 7x – 1)' log₃ x + (x² + 7x – 1)(log₃ x)' =

Потім використовуємо правило диференціювання суми.

= ((x²)' + 7(x)'  – (1)') log₃ x + (x² + 7x – 1)(log₃ x)' =

В результаті застосування правил диференціювання під штрихами залишилися тільки елементарні функції. По таблиці похідних перетворюємо їх в інші функції.

ВІДПОВІДЬ:

Правило диференціювання частки.

Похідна частки двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця добутку знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього знаменника.

Слід не плутати константу (тобто, число) як доданок в сумі як постійний множник. У разі доданка її похідна дорівнює нулю, а в разі постійного множника вона виноситься за знак похідних.

Якщо при диференціюванні добутку або частки у вас з'явилося доданок  u'v, в якому  u – число, наприклад, 2  або  5, тобто константа, то похідна цього числа буде дорівнює нулю і, отже, все доданки дорівнюватиме нулю.

ПРИКЛАД:

Знайти похідну функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виносимо множник  2  за знак похідної.

Застосовуємо правило диференціювання частки.

Знаходимо похідні в чисельнику.

Спрощуємо чисельник.

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:
Знайти похідну функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перед тим як використовувати правило диференціювання частки, завжди має сенс подивитися, а чи не можна спростити саму дріб, або взагалі позбутися від неї ?

В даному випадку можна почленно поділити чисельник на знаменник.

Тепер диференціюючи функцію

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Знайти похідну функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворимо дріб в добуток, для цього піднімемо експоненту в чисельник, змінивши у показника знак:

Тепер проведемо диференціювання.

у' = (хе^х)' = (х)'е^х + х(е^х)'

= 1∙ е^х + х е^х = е^х(х + 1).

ВІДПОВІДЬ:  е^х(х + 1)

Диференціювання складної Функції.

(u(v))' = u'(v) ∙ v'

Щоб знайти похідну, треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функції і визначити, якими діями (добуток, сума, частка) пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо в таблиці похідних, а формули похідних добутків, суми і частки – в правилах диференціювання.

Завдання до уроку 3

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Границя функції
• Урок 2. Визначення похідної функції
• Урок 4. Первісна функція
• Урок 5. Невизначений інтеграл
• Урок 6. Визначений інтеграл
• Урок 7. Застосування похідної до дослідження функцій
• Урок 8. Застосування визначеного інтеграла для вирішення геометричних завдань