ВИДЕО УРОК
Розглянемо раціональні тригонометричні рівняння відносно
тригонометричних функцій.
Раціональне рівняння
відносно тригонометричних функцій одного й того самого аргументу можна записати
у виглядіде R1, R2 – цілі раціональні функції відносно
sin x, cos x, tg x, ctg x.
Якщо функції tg x і ctg x замінити відповідно на
то після перетворень рівняння зводиться до вигляду
де R3 і R4 – цілі раціональні функції відносно sin x, cos x.
Розглядаючи це
рівняння, приходимо до висновку, що дріб може дорівнювати нулю, якщо чисельник
R3(sin x, cos x) = 0, а знаменник
R4(sin x, cos
x) ≠ 0.
Відзначимо, що R4(sin x, cos x) як многочлен від функцій sin x і cos x – величина обмежена, тому що
| sin x | ≤ 1 і | cos x | ≤ 1,
через це при всіх значеннях х
Що ж до тих коренів рівняння
R3(sin x, cos x) = 0,
при яких
R4(sin x, cos x) = 0,
то для рівняння
вони є сторонніми через те, що ліва частина рівняння
при цьому набуває вигляду
і не має числового смислу.
Таким чином, у
загальному випадку раціональні тригонометричні рівняння відносно функцій одного
аргументу зводяться до рівняння вигляду
R(sin x, cos x) = 0,
де R – многочлен відносно
sin x і cos x.
Розглянемо деякі методи розв'язання рівняння
R(sin x, cos x) = 0.
1. Один з методів полягає в застосуванні так званої універсальної тригонометричної підстановки, тобто формул, які виражають
sin x, cos x, tg x, ctg x
через tg x/2.
При застосуванні цього методу рівняння
можна не зводити до вигляду
Функція tg x/2 не має смислу при
х = π(2n + 1)
де n = 0; ±1;
±2; …
тому при розв'язанні рівняння цим методом додатково слід перевірити, чи нема серед значень
х = π(2n + 1)
коренів даного рівняння.
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
sin x – 2cos x = 2.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Замінивши за допомогою формул:
одержимо
Після перетворення одержимо рівняння
tg x/2 = 2.
з якого знаходимо
x = 2 arctg 2 + 2πn,
де n = 0; ±1; ±2; …
Допустимими значеннями невідомого в даному рівнянні були всі дійсні значення х. При переході до функції tg x/2 з розгляду випали значення
х = π(2n + 1),
які слід перевірити за умовою.
Підставляючи
х = π(2n + 1)
в дане рівняння, переконуємось, що ці значення є розв’язками рівняння.
ВІДПОВІДЬ:
x = 2 arctg 2 + 2πn;
х
= π(2n + 1),
де n = 0; ±1; ±2; …
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
1 – sin x = cos x (sin x + cos x).
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Виразивши sin x і cos x через tg x/2, одержимо рівняння
яке після перетворень має вигляд:
і, отже,
х = 2πn або
х
= π/2 + 2πn
(n = 0; ±1; ±2; …).
Перевіримо, чи будуть коренями даного рівняння значення
х = π(2n + 1).
Підставляючи це значення в дане рівняння, знаходимо
1 – sin [π(2n + 1)] = cos [π(2n + 1)]∙{(sin [π(2n + 1)] + cos [π(2n + 1)])}
або
1 – 0 = –1(0 – 1), 1 = 1,
тобто значення
х = π(2n + 1)
також є коренями рівняння.
Таким
чином коренями даного рівняня будуть значення, визначені за формулами:
х = 2πn
х
= π/2 + 2πn,
х = π(2n
+ 1),
де n = 0; ±1; ±2; …
зазначимо, що перша і третя формули можуть бути замінені на одну формулу
х = πn.
ВІДПОВІДЬ:
х = πn, х = π/2 + 2πn,
де n = 0; ±1; ±2; …
2. Універсальна підстановка часто приводить до рівняння високого степеня відносно tg x/2 і тому незручна. Іноді простіше при розв'язані рівняння користуватись замінами:
Нагадаємо, що
sin (–x) = – sin x,
cos
(–x) = cos x,
sin
(π – x) = sin x,
cos (2π – x) = cos x.
Тому, якщо в рівнянні ліва частина не змінюється при заміні х на –х, або на π – х, то це означає, що вона поводить себе як cos x і в цьому випадку доцільно замінити sin x на
Навпаки, якщо при заміні х на –х ліва частина рівняння змінює тільки знак або якщо при заміні х на π – х вона не змінюється, то доцільно в рівнянні залишити функцію sin x, тобто cos x замінити на
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
3 sin3 x + 3 sin x cos2 x + 2 cos2 x = 0.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Ліва частина цього рівняння не є функцією ні парною, ні непарною. Тому перевіряємо поведінку лівої частини рівняння при заміні х на π – x. Переконуємося, що при такій заміні вона не змінюється. В цьому випадку доцільно замінити cos2 х на 1 – sin2х. Після заміни одержуємо:
3 sin3 x + 3 sin x (1 – sin2х) + 2 (1 – sin2х) = 0
aбо
2 sin2 x – 3 sin x – 2 = 0.
Розв'язуючи це квадратне рівняння відносно sin x, знайдемо:
sin x = 2, sin x = –1/2.
Перше з рівнянь розв'язків не має, а з другого одержуємо шукану відповідь:
x = (–1)n+1 π/6 + πn,
де n = 0; ±1; ±2; …
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
4 sin4 x – 2 sin2 x cos x + 4 cos 2x
=
2 cos3 x –
sin2 2х + 2.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
При заміні х на –х обидві частини рівняння не змінюються. Тому доцільно виконати заміну
Враховуючи, що
sin 2x = 2 sin x cos x,
cos 2x = cos2 x
– sin2 2х,
sin2
х = 1 – cos2 x,
одержуємо
4(1 – cos2 x)2 – 2(1 – cos2 x) cos x + 4(2 cos2 x – 1)
4 cos2 x – 2 cos x – 2 = 0,
2(2 cos2 x – cos x – 1) = 0,
Звідси
2 cos2 x – cos x – 1 = 0
Розв'язуючи останнє рівняння відносно cos x, знаходимо
cos x = 1,
cos
x = – 1/2.
З цих рівнянь одержуємо:
x = 2πn, х = ± 2π/3 + 2πn.
ВІДПОВІДЬ:
x = 2πn, х = ± 2π/3 + 2πn,
де n = 0; ±1; ±2; …
3. Рівняння можна розв’язувати зведенням до однорідного тригонометричного рівняння відносно
sin x і cos x.
Однорідним рівнянням відносно sin x і cos x називають рівняння, кожний член якого має той самий степінь відносно sin x і cos x.
ПРИКЛАД:
Однорідне рівняння другого степеня відносно sin x і cos x має вигляд
а sin2 x + b sin x cos x + с cos2 x = 0.
Таке рівняння легко зводиться до рівняння з однією невідомою функцією діленням обох частин рівняння на cos2 x або sin2 x. Після ділення на cos2 x одержуємо квадратне відносно tg х рівняння
а tg2 x + b tg x + с = 0.
При діленні на cos2 x (або sin2 x) необхідно показати, що
cos2 x ≠ 0.
Дійсно, підставивши cos x = 0 у вихідне рівняння, одержимо
а sin2 x = 0,
а це при а ≠ 0 неможливо, оскільки якщо
cos x = 0, то sin x ± 1.
Аналогічно однорідне відносно sin x і cos x рівняння n-го степеня
an sinnx + an-1sinn-1x cos x + …+ a1sin x cosn-1x + a0cos nx = 0
діленням на cosn x або sinn x можна звести до алгебраїчного рівняння n-го степеня відносно tg х або ctg х.
Рівняння завжди можна
звести до однорідного рівняння відносно sin x і cos x.
Для цього досить члени парного степеня перенести в одну, а непарного степеня
відносно sin x і cos x
– в іншу частину і піднести обидві частини
рівняння до квадрата. Далі, користуючись тим, що при будь-якому k
(sin2
x
+ cos2
x)k
= 1, показник
k підбирається так, щоб рівняння стало
однорідним.
ПРИКЛАД:
Зведемо рівняння
2 sin2 x + cos x – 3 sin x + 1 = 0.
до однорідного.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Перепишемо це рівняння у вигляді
2 sin2 x + 1 = 3 sin x – cos x.
обидві його частини піднесемо до квадрата, після чого одержимо
4 sin4 x + 4 sin2 x + 1 = 9 sin2 x – 6 sin x cos x + cos2 x.
Підібравши показник k відповідним чином, дане рівняння можна записати так:
4 sin4 x + 4 sin2 x(sin2 x + cos2 x) + 1(sin2 x + cos2 x)
=
(9 sin2
x – 6 sin x cos x + cos2 x)(sin2
x + cos2 x).
Звідси після очевидних перетворень одержуємо рівняння четвертого степеня
3 sin3 x cos x – 2 sin2 x cos2 x + 3 sin x cos3 x = 0,
однорідне відносно sin x і cos x.
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
sec x = 4 sin x + 6 cos x.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Помноживши обидві частини рівняння на cos x ≠ 0, одержимо
1 = 4 sin x cos x + 6 cos2 x
і замінимо
1 = sin2 x + cos2 x,
тоді маємо
sin2 x – 4 sin x cos x – 5 cos2 x = 0.
Останнє рівняння поділимо на cos2 x, після чого одержуємо:
tg2 х – 4 tg х – 5 = 0,
звідси знаходимо
tg х = 5, tg х = –1.
Отже,
х = arctg 5 + πn.
х = –π/4 +πn,
де n = 0; ±1; ±2; …
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
sin3 x – cos3 x + 1 = 0.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Перенісши члени непарного степеня відносно sin x і cos x в одну частину, одержимо
cos3 x – sin3 x = 1.
Піднесемо обидві частини до квадрату і помножимо 1 на
(sin2 x + cos2 x)3.
Рівняння набуде вигляду
(cos3 x – sin3 x)2 = (sin2 x + cos2 x)3,
або
cos6 x – 2 cos3 x sin3 x + sin6 x =
sin6 x +
3 cos2
x
sin4
x
+ 3 cos4
x
sin2
x + cos6
x,
3 sin4
x cos2
x + 2 sin3
x cos3
x + 3 sin2
x cos4
x = 0,
або
3 sin2 x cos2 x + 2 sin3 x cos3 x = 0,
Розкладаючи на множники, одержуємо:
sin2 x cos2 x (3 + 2 sin x cos x) = 0.
оскільки
3 + 2 sin x cos x ≠ 0,
то остаточно маємо
sin2 x = 0 і cos2 x = 0 і,
отже
х = πn,
х = π/2 (2n + 1).
Перевіривши знайдені значення за умовою рівняння, у відповіді одержимо:
х = 2πk,
х = π/2 (4k – 1).
де k = 0; ±1; ±2; …
4. Розглянемо рівняння вигляду
а sin x + b cos x = с.
Коефіцієнти а, b і с – довільні дійсні числа.
одержимо
Коефіцієнти при sin x і cos x будемо розглядати як значення косинуса і синуса допоміжного аргументу φ, тобто вважатимемо
тому що
Без обмеження загальності вважаємо, що b ≥ 0, тоді sin φ ≥ 0 і кут можна взяти в інтервалі
0 < φ < π.
Визначивши за таблицями значення φ, дане рівняння запишемо у вигляді
або
Якщо
тобто
а2 + b2 ≥ с2,
то розв'язками рівняння є значення
де n = 0; ±1; ±2; …
Якщо
тобто
а2 + b2 < с2,
то рівняння не має розв'язків.
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
√͞͞͞͞͞3 sin x + cos x = 1.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Поділивши обидві частини рівняння на 2, одержимо:
Замінимо
Тоді вихідне рівняння набуде вигляду
звідки випливає
х + 30° = (–1)n ∙ 30° + 180°n,
або при
n = 2k
ВІДПОВІДЬ:
x = 360° k
5. Розглянемо рівняння
sinn x + cosn x = 1,
де – n натуральне число.
sin2 х + cos2 х = 1,
де х – будь-яке дійсне число.
| sin x | ≠ 1,
маємо
sinn x < sin2 х
тому що показникова функція при основі, меншій за одиницю, спадає. Додаючи почленно одержані нерівності, знайдемо, що
sinn x + cosn x < 1, n ≥ 3
при всіх х, для яких
| sin x | ≠ 1,
Таким чином, якщо n – непарне число, то можливі випадки
або
з яких відповідно одержуємо розв'язки даного рівняння
x = 2πk
якщо n – парне число, то можливі випадки
з яких одержуємо розв'язки даного рівняння
x = π/2 k
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
sin3 x + cos3 x = 1.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
З викладеного вище випливає, що рівняння може мати розв'язок у таких двох випадках:
Звідки знаходимо розв'язки
x = 2πk
ВІДПОВІДЬ:
x = 2πk
При n ≥ 3 коріння рівняння
sinn x + cosn x = 1
залежать не від чисельного значення величини n, а тільки від того, парне n чи ні.
Завдання до уроку 2.
тобто
а2 + b2 < с2,
то рівняння не має розв'язків.
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
√͞͞͞͞͞3 sin x + cos x = 1.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Поділивши обидві частини рівняння на 2, одержимо:
Замінимо
Тоді вихідне рівняння набуде вигляду
звідки випливає
х + 30° = (–1)n ∙ 30° + 180°n,
n = 0; ±1; ±2; …
або при
n = 2k
n = 2k + 1
х
= 180° ∙ 2k
х
= –60° + 180°(2k + 1).
ВІДПОВІДЬ:
x = 360° k
x = 120°(3k + 1)
k = 0; ±1; ±2; …
5. Розглянемо рівняння
sinn x + cosn x = 1,
де – n натуральне число.
Якщо n = 1, то рівняння зводиться до вигляду,
розглянутого в пункту 4.
При n = 2 маємо тотожність
sin2 х + cos2 х = 1,
де х – будь-яке дійсне число.
При n ˃ 3, якщо
| sin x | ≠ 1,
|
cos
x | ≠ 1,
маємо
sinn x < sin2 х
cosn
x
< cos2 х
тому що показникова функція при основі, меншій за одиницю, спадає. Додаючи почленно одержані нерівності, знайдемо, що
sinn x + cosn x < 1, n ≥ 3
при всіх х, для яких
| sin x | ≠ 1,
|
cos
x | ≠ 1.
Таким чином, якщо n – непарне число, то можливі випадки
або
з яких відповідно одержуємо розв'язки даного рівняння
x = 2πk
x = π/2 (2k + 1)
k = 0; ±1; ±2; …
якщо n – парне число, то можливі випадки
з яких одержуємо розв'язки даного рівняння
x = π/2 k
k = 0; ±1; ±2; …
ПРИКЛАД:
Розв'язати рівняння:
sin3 x + cos3 x = 1.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
З викладеного вище випливає, що рівняння може мати розв'язок у таких двох випадках:
Звідки знаходимо розв'язки
x = 2πk
x = π/2 (4k + 1)
ВІДПОВІДЬ:
x = 2πk
x = π/2 (4k + 1)
k
= 0; ±1; ±2; …
При n ≥ 3 коріння рівняння
sinn x + cosn x = 1
залежать не від чисельного значення величини n, а тільки від того, парне n чи ні.
Завдання до уроку 2.
Інші уроки
Комментариев нет:
Отправить комментарий