Урок 6. Действия над векторами в пространстве

четверг, 5 марта 2020 г.

Урок 6. Действия над векторами в пространстве

ВИДЕО УРОК

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяется так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три.

Сложение векторов.

Для трёх векторов (АО, ОС, ОО₁), которые не лежат в одной плоскости и имеют общее начало О, их сумма изображается диагональю параллелепипеда (ОВ₁), построенного на этих векторах, причём начало вектора-суммы совпадает с началом этих векторов.

Координаты вектора-суммы векторов равны сумме соответствующих координат данных векторов.
Сложение двух векторов производится покоординатно, то есть, если

то

c = {x₃; y₃; z₃} =

{x₁; y₁; z₁} + {x₂; y₂; z₂} =

{x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂}.

Данная формула имеет место для произвольного конечного числа слагаемых.

Правило параллелепипеда сложения векторов.

Пусть даны три вектора

не лежащие в одной плоскости (их называют некомпланарными).

Выполним следующие построения:

1. Отложим от произвольной точки О векторы

2. Построим параллелепипед так, чтобы отрезки

ОА, ОВ, ОС

были его рёбрами.

Из рисунка видно, что

Таким образом, сумма трёх векторов, не параллельных одной плоскости представляется диагональю параллелепипеда, построенного на данных векторах, отложенных от одной точки, как на рёбрах.
Получили правило параллелепипеда для сложения векторов в пространстве.

ПРИМЕР:

Возьмём векторы

Сумма векторов равна:

Вычитание векторов.

Вычитание двух векторов производится покоординатно, аналогично сложению, то есть если

то

c = {x₃; y₃; z₃} =

{x₁; y₁; z₁} – {x₂; y₂; z₂} =

{x₁ – x₂; y₁ – y₂; z₁ – z₂}.

Геометрически два вектора складываются по правилу параллелограмма с учётом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причём результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

Важным следствием вычитания векторов является тот факт, что если известны координаты начала и конца вектора, то для вычисления координат вектора необходимо из координаты его конца вычесть координаты его начала.

Любой вектор пространства

может быть представлен в виде разности двух векторов, исходящих из начала координат:

Координаты векторов

совпадают с координатами точек А и В, так как начало координат

О(0; 0; 0).

Таким образом, по правилу вычитания векторов следует произвести вычитание координат точки А из координат точки В.

Возьмём векторы

Разность векторов равна:

Произведение векторов.

Умножение вектора на число λ покоординатно:

При λ ˃ 0 – вектор

сонаправлен

При λ < 0 – вектор

противоположно направлен

При | λ | ˃ 1 – длина вектора

увеличивается в λ раз. При | λ | < 1 – длина вектора

уменьшается в λ раз.

ПРИМЕР:

Даны векторы

Найдите координаты вектора:

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением

векторов

называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть: скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение двух векторов

заданных своими координатами, равно сумме произведений их одноимённых координат, то есть:

ПРИМЕР:

Найдите угол между векторами

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой:

Тогда

Откуда

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найти скалярное произведение векторов
если даны точки:

РЕШЕНИЕ:

Сначала найдём векторы:

По формуле
Вычислим скалярное произведение
Скалярное произведение положительно, значит, угол между пространственными векторами является острым.

ОТВЕТ: 6

Очевидно, что скалярный квадрат любого ненулевого вектора равен квадрату его длины, так как в этом случае угол φ = 0, поэтому его косинус равен 1.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

ПРИМЕР:

При каком значении р векторы

взаимно перпендикулярны ?

РЕШЕНИЕ:

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

3 ∙ р + р ∙ (–2) + (–1) ∙ 5 = 3р – 2р – 5 = р – 5,

тогда

р – 5 = 0.

Откуда р = 5.

ОТВЕТ: р = 5

Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть:

С помощью скалярного произведения векторов можно вычислить угол между ними. Если заданы два ненулевых вектора своими координатами

то косинус угла φ между ними:

то есть

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов

х₁ x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0.

С помощью скалярного произведения векторов находят работу постоянной силы

на прямолинейном участке пути. Предположим, что под действием постоянной силы

материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В. Вектор силы

образует угол φ с вектором перемещения

Физика утверждает, что работа силы

при перемещении

равна

то есть

Следовательно, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении точки её приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Проекции векторов.

Пусть в пространстве задана прямая (ось l), вектор

задан координатами конца и начала. Обозначим проекции точек А и В на ось l соответственно через А' и В'. Проекцией

вектора

на ось l называется длина вектора

взятая со знаком <<+>>, если вектор

и ось l сонаправлены, и со знаком <<–>>, если

противоположно направлены.
Если в качестве оси l взять некоторый другой вектор

то получим проекцию вектора

на вектор

Нахождение проекции вектора

на направление, заданное вектором

может осуществляться по формуле:

то есть

Некоторые основные свойства проекций.

1. Проекция вектора

на ось l равна произведению модуля вектора

на косинус угла между векторами и осью, то есть

2. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой.

3. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.

Свойства векторного произведения.

Если векторы заданы своими координатами:

то векторное произведение находится по формуле:

ПРИМЕР:

Найти векторное произведение векторов:

РЕШЕНИЕ:

Составим определитель и вычислим его:

Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением трёх векторов

называется число, равное скалярному произведению векторов

на вектор

Геометрический смысл смешанного произведения.

Если тройка векторов

правая, то их смешанное произведение равно объёму параллелепипеда построенного на этих векторах:

В случае левой тройки

смешанное произведение указанных векторов равно объёму параллелепипеда со знаком минус:

Если

компланарные, то их смешанное произведение равно нулю. Из выше сказанного можно сделать вывод, что объём параллелепипеда, построенного на векторах

равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объём пирамиды, построенный на этой тройке векторов равен:

Свойства смешанного произведения.

Три вектора компланарные тогда и только тогда, когда:

Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда

Если же

то векторы

образуют левую тройку векторов.

Если векторы:

заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

Задания к уроку 6

ДРУГИЕ УРОКИ

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 5 марта 2020 г.