ВИДЕО УРОК
Чтобы графически решить уравнение
f(x) = g(x),
необходимо построить графики функций
y = f(x) и y = g(x)
и найти абсциссы точек пересечения построенных графиков.
ПРИМЕР:
Решить графически уравнение:
–0,5x2 – х + 2,625 =
соs πx.
РЕШЕНИЕ:
Сначала нужно определиться с
методом решения уравнения. Очевидно, никакие преобразования уравнения не дают
возможности перейти к каким-либо более простым уравнениям. В данном случае
можно попробовать решить уравнение графическим методом. Здесь видно, что функции,
отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения их графиков.
Поэтому построим в одной системе координат графики функций:
у = –0,5x2 – х + 2,625,
у = соs πx.
График квадратичной функции
у = –0,5x2 – х + 2,625
у = –0,5x2 – х + 2,625,
у = соs πx.
Нам известно поведение
построенных функций. Это позволяет утверждать, что за пределами видимой области
точек пересечения графиков нет. Значит, можно утверждать, что решаемое
уравнение имеет два корня.
Определим абсциссы точек
пересечения. По чертежу можно судить об их приближённых значениях:
х1 = –3,5,
х2 = 1,5.
Это есть приближённые значения
корней решаемого уравнения.
Возможно, найденные значения
являются точными значениями корней. Проверим это предположение, для чего
выполним проверку подстановкой:
Сначала в уравнение
–0,5x2 – х + 2,625 =
соs πx
вместо х подставим
х1 = –3,5.
(–0,5)(–3,5)2 – (–3,5) + 2,625 = соs π
∙ (–3,5),
(–0,5) ∙ 12,25 + 3,5 +
2,625 = соs π ∙ (–7/2),
–6,125 + 3,5 + 2,625 = соs 7π/2,
Найдём значение соs 7π/2, применяя следующую формулу приведения:
0 = 0,
значит
х1 = –3,5 – корень
данного уравнения.
Затем в уравнение
–0,5x2 – х + 2,625 =
соs πx
вместо х подставим
х2 = 1,5.
(–0,5)(1,5)2 – 1,5 + 2,625 = соs π
∙ (1,5),
(–0,5) ∙ 2,25 – 1,5 +
2,625 = соs π ∙ (3/2),
–1,125 – 1,5 + 2,625 = соs 3π/2,
0 = 0,
значит
х2 = 1,5 –
тоже корень данного уравнения.
Проверка показала, что –3,5 и 1,5 –
это корни уравнения:
–0,5x2 – х + 2,625 =
соs πx.
Таким образом, графический
метод позволил нам определит точные корни уравнения.
ОТВЕТ: –3,5, 1,5
ПРИМЕР:
Решить графически уравнение:
sin x = 1 – x.
РЕШЕНИЕ:
На одном и том же рисунке
начертим два графика:
график функции у = sin x
х ≈ 0,5.
Для уточнения полученного
результата полезно использовать тригонометрические таблицы или компьютерные
программы.
При х = 0,5
sin x ≈ 0,4794,
1 – x = 0,5.
Следовательно,
sin x < 1 – x.
Но тогда, как легко понять из
рисунка, корень уравнения
sin x = 1 – x
будет больше, чем 0,5.
Проверим значение х
= 0,6. Имеем (при х = 0,6)
sin x ≈ 0,5446,
1 – x = 0,4.
Следовательно,
sin x ˃ 1 – x.
Но тогда, как легко понять из того
же рисунка, искомый корень х0 должен быть
меньше, чем 0,6. Теперь мы знаем, что
х0 находится в интервале
[0,5; 0,6].
Поэтому с точностью до 0,1
х0 ≈ 0,5 (с недостатком),
х0 ≈ 0,6 (с избытком).
С помощью таблиц можно найти
приближённое значение х0 и с точностью
до 0,01.
Разделим интервал
[0,5; 0,6]
пополам. В средней точке (х = 0,55) этого
интервала
sin x ≈ 0,5227,
1 – x = 0,45.
Опять получаем, что
sin x ˃ 1 – x.
Следовательно,
х0
< 0,55.
Проверим точку х
= 0,52 (она близка к средней точке х
= 0,525 интервала [0,50; 0,55], в котором
заключён корень х0).
При х
= 0,52
sin x ≈ 0,4969,
1 – x = 0,48.
Снова
sin x ˃ 1 – x,
поэтому х0 < 0,52. Итак
0,50 < х0 < 0,52.
Поэтому с точностью до 0,01
х0 ≈ 0,51.
Решениями данного уравнения является абсциссы точек пересечения графиков этих функций.
Заметим, что графики функций достаточно построить на промежутке поскольку функции
Абсциссы точек пересечения
графиков этих функций будут решениями данного уравнения. Согласно рисунку
находим
х1 = –0,635,
х2 = 0,635.
причем других действительных
корней данное уравнение иметь не может.
ОТВЕТ:
х1 = –0,635,
ОТВЕТ: х = 0
ПРИМЕР:
х ≈ 0,739,
который будет единственным.
ПРИМЕР:
Решить графически уравнение:
sin x = x.
РЕШЕНИЕ:
Решением данного уравнения
является точка пересечения двух функций
у = sin x,
у = x.
где
ОТВЕТ: х = 0
ПРИМЕР:
Сколько корней имеет уравнение ?
sin x = log x.
РЕШЕНИЕ:
у = sin x – синусоида,
ОТВЕТ: число корней
3
ПРИМЕР:
Решить графически уравнение:
tg x/2 = 2
– x.
у = tg x/2
у = 2 – x
пересекаются в бесконечном
числе точек. Значит, данное уравнение имеет бесконечное множество корней.
Найдём, например, наименьший положительный корень х0.
Этот корень является абсциссой точки пересечения графиков. Примерно он
равен 1,2.
Чтобы найти этот корень точнее,
воспользуемся таблицами тангенсов В. М. Брадиса. Выпишем значения функций
у = tg x/2
у = 2 – x
tg x/2 – (2 – x)
меняет свой знак на
противоположный (с минуса на плюс). Значит, в нуль эта разность обращается где-то между значениями 1,2 и 1,3.
Следовательно, с точностью до 0,1
х0 ≈ 1,2 (с недостатком) или
х0 ≈ 1,3 (с избытком).
Используя таблицу тангенсов,
можно найти и приближённое значение этого корня с точностью до 0,01.
Для этого рассмотрим значение х = 1,25, являющееся средним значением чисел 1,2 и 1,3.
При х
= 1,25
tg x/2 ≈ 0,7215,
2 – x =
0,7500.
Поскольку
tg x/2 < 2 – х,
то х0
˃ 1,25.
Итак,
1,25 < х0
< 1,30.
Теперь испытаем значение
х = 1,28, которое близко
к среднему значению чисел 1,25 и 1,30. При
х = 1,28
tg x/2 ≈ 0,7445,
2 – x =
0,7200.
Теперь уже
tg x/2 ˃ 2 – х,
значит х0
< 1,28.
Аналогично, рассматривая
значение х
= 1,26, мы получили бы
tg x/2 < 2 – х
и поэтому х0 ˃ 1,26.
Значит,
1,26 < х0
< 1,28.
Поэтому с точностью до 0,01
х0 ≈ 1,27.
Если бы нужно было определить,
какое это приближённое значение (с недостатком или с избытком), то нам пришлось бы сравнить значения
- Урок 1. Простейшие тригонометрические уравнения
- Урок 2. Методы решения тригонометрических уравнений с функциями одного аргумента
- Урок 3. Тригонометрические уравнений с функциями разных аргументов
- Урок 5. Системы тригонометрических уравнений
- Урок 6. Тригонометрические неравенства
- Урок 7. Графическое решение тригонометрических неравенств
Комментариев нет:
Отправить комментарий