ВИДЕО УРОК
Операция нахождения производной называется
дифференцированием.
Если
пределконечен, то функция y = f(x) является дифференцируемой в точке ∆х.
Функция не дифференцируема в точках разрыва.
Во-первых, она может быть неопределенна в такой точке,
следовательно, приращение ∆х задать невозможно.
Во-вторых,
практически всегда попросту не существует общего пределаИз дифференцируемости функции в точке x0 необходимо (обязательно) следует её непрерывность в данной точке.
Обратное утверждение в общем случае неверно, то есть из
непрерывности функции дифференцируемость следует далеко не всегда.
ПРИМЕР:
Функция
у = |х|
В точке х0.Если рассмотреть приращение ∆х справа, то правосторонний предел будет равен
и, соответственно, получаем касательную у = х, совпадающую с правой частью графика
у = |х|.
Если же придать приращение аргументу ∆х влево, получается
совсем другой результати, другая касательная у = –х, которая совпадает с левой частью графика
у = |х|.
Ни общего предела,
ни общей касательной. Таким образом, функция
у = |х|
хоть и непрерывна в
точке х0 = 0, но не
дифференцируема в ней.
Когда пределравен <<плюс>> или <<минус бесконечности>>, то производная тоже существует и касательная к графику функции будет параллельна оси ОY.
ПРИМЕР:
Касательной к графику функциив точке х0 = 0 является сама ось ординат.
Если односторонние пределы бесконечны и различны по знаку, то единая касательная и производная существуют.
ПРИМЕР:
Квадратный корень из модуля <<икс>>
в точке х0 = 0.
Дифференциал функции в точке и его геометрический смысл.
Дифференциалом функции
dy в точке
х0 называют главную линейную часть приращения
функции ∆у.
На
чертеже дифференциал dy в точке х0 равен длине отрезка NM.Возьмём в руки линейку и приложим её ребром к монитору на прямую LN. Двигая линейку влево к точке х0, уменьшаем приращение ∆x.
По рисунку хорошо видно, что с уменьшением ∆x уменьшается и приращение функции ∆у = LN (малиновые линии). При этом отрезок LМ занимает всё меньшую и меньшую часть приращения функции ∆у = LN, а дифференциал dy = NМ – всё большую и большую его часть, именно поэтому его и называют главной частью приращения функции. Настолько главной, что при бесконечно малом ∆x дифференциал стремится к полному приращению функции
(соответственно отрезок LМ будет бесконечно малым).
Выведем формулу для приближённых вычислений с помощью
дифференциала.
Рассмотрим
прямоугольный треугольник КNM и тангенс угла
наклона касательнойОбозначив дифференциал в рассматриваемой точке х0 корректнее через
d[f(х0)],
и учитывая, что
tg φ = f ' (х0),
получаем:
dy = tg φ ∙ ∆x
d[f (х0)]
= f ' (х0) ∙ ∆x
идея формулы приближённых вычислений
f (х0 + ∆x) ≈ f (х0)
+ d[f (х0)]
состоит в том, чтобы точное значение
f (х0 + ∆x)
функции (смотрите на ось ординат основного чертежа)
заменить суммой f (х0) и отрезка
NM = dy = d[f (х0)].
Отрезок NM на главном чертеже существенно <<не
достаёт>> до полного приращения LN.
В демонстрационной иллюстрации выбрано большое
значение ∆x, чтобы всё было видно. На практике же, чем приращение ∆x меньше – тем дифференциал лучше <<дотянется>>
до полного приращения функции (смотрите маленький рисунок), и тем точнее
сработает формула:
f (х0 + ∆x) ≈ f (х0)
+ d[f (х0)].
Предельно малое значение
∆x часто обозначают через dy, поэтому формула
d[f (х0)]
= f ' (х0) ∙ ∆x
принимает вид:
d[f (х0)]
= f ' (х0) ∙ dx.
Тогда:До сих пор речь шла о дифференциале в единственной точке х0. Но в качестве х0 можно взять любую точку х рассматриваемого интервала.
Из этих соображений в равенстве
проведём замену х0 = х и получим:
А это не что иное, как обозначение производной
Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – грубая ошибка. Функция и её производная – это две разные функции.
Символ
используется двояко – и как целый символ производной, и как частное дифференциалов.
Вторая интерпретация активно используется в ходе решения
дифференциальных уравнений.
Что в широком смысле обозначает глагол <<дифференцировать>>
?
Дифференцировать – это значит выделить какой-либо
признак.
Дифференцируя
функцию
y = f(x),
мы << выделяем >> скорость её изменения в виде производной функции
y' = f ' (x).
ПРИМЕР:
Рассмотрим две линейные функции:
f(x) = 3х – 2,
g(x) = 20х.
Найдём их производные:
f ' (x) = (3х – 2)' = 3,
g'
(x) = (20х)' = 20.
Обе производные положительны, а значит, функции возрастают на всей области определения (графики идут <<снизу вверх>>). Производная – это мера скорости изменения функции. Поскольку
g' (x) ˃ f ' (x),
то функция
g(x) = 20х
растёт быстрее (причём значительно) функции
f(x) = 3х – 2,
и, соответственно, график
g(x) = 20х
намного более крут.
Касательная к графику линейной
функции в каждой точке совпадает с самим графиком данной линейной функции.
Обычно при нахождении производных сначала используются правила
дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.
Таблица
производных элементарных функций.
Следует обратить внимание, что производная
степенной функции – это самая распространённая формула на практике. Любой
радикал (корень), нужно представить в виде
для применения формулы:(xn)' = n ∙ xn-1.
ПРИМЕР:
Правила дифференцирования и таблица производных появилась благодаря единственной формуле:
ПРИМЕР:
Находим в таблице производных элементарных
функций.
Для того чтобы найти производную функцию, нужно по определённым правилам превратить её в другую функцию.
Это зафиксировано в
таблице. Единственным исключением является экспоненциальная функцияДля того чтобы найти производную функцию, нужно по определённым правилам превратить её в другую функцию.
которая превращается сама в себя.
Обычно при нахождении производных сначала используются
правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.
Правила дифференцирования.
Множитель-константу
можно вынести за знак производной.
(Сu)' = С(u)'
ПРИМЕР:
Найти производную функцию:
y = 3cos x.
РЕШЕНИЕ:
Смотрим в таблицу производных. Производная
косинуса там есть, но у нас 3cos x.
Решаем:
y' = (3cos x)'.
Выносим постоянный множитель за знак
производной:
y' = (3cos x)' = 3(cos x)'.
А теперь превращаем косинус по таблице:
y' = 3(cos x)' = 3(–sin x).
Выносим знак минус за скобки и избавляемся
от скобок:
y' = 3(–sin x)
= –3sin x.
Правило
дифференцирования суммы.
(u ± v)' = (u)' ± (v)'
Производная алгебраической суммы функций равна
алгебраической сумме производных этих функций.
Если две дифференцируемые функции отличаются на
постоянное слагаемое, то их производные равны.
(u + С)'
= u'
ПРИМЕР:
Найти
производную функции:РЕШЕНИЕ:
Первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что заключается в скобки всё выражение и ставится штрих справа вверху.
Затем заключаем в скобки каждое слагаемое и ставим штрих справа вверху. Для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде
а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх
Постоянные множители (числа) выносим за знак производной
Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями. С помощью таблицы осуществляем превращение.
От производных избавились, дальше упростим полученный результат.
Правило дифференцирования произведения.
(u ∙ v)' = u' ∙ v + v' ∙ u
Производная произведения двух функций равна сумме
произведений каждой из этих функций на производную другой.
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
(Сu)' = С ∙ u'
Производная произведения нескольких дифференцируемых
функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все
остальные
(u v
w)' = u' vw + v' uw + w' uv
ПРИМЕР:
Найти производную функции:
y = x3 arcsin x.
РЕШЕНИЕ:
Здесь произведение двух функций, зависящих
от х.
y'
= (x3 arcsin x)' = (x3)' arcsin x + x3 (arcsin x)' =
ПРИМЕР:
Найти производную функции:
y =
(x2 + 7x – 1) log3
x.
РЕШЕНИЕ:
В данной функции содержится сумма
x2 + 7x – 1
и произведение двух функций – квадратного
трёхчлена
(x2 + 7x – 1)
и логарифма
log3 x.
Сначала используем правило
дифференцирования произведения.
y'
= ((x2 + 7x – 1) log3 x)'
=
(x2 + 7x – 1)' log3 x +
(x2 + 7x – 1)(log3 x)'
=
Затем используем правило дифференцирования суммы.
= ((x2)' + 7(x)' – (1)') log3 x + (x2 + 7x –
1)(log3 x)' =
В
результате применения правил дифференцирования под штрихами остались только
элементарные функции. По таблице производных превращаем их в другие функции.ОТВЕТ:
Правило дифференцирования частного.
Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.
Следует не путать константу (то есть, число) как
слагаемое в суммеи как постоянный множитель. В случае слагаемого её производная
равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных.
Если при дифференцировании произведения или частного у
вас появилось слагаемое u' v,
в котором u –
число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого
числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю.
ПРИМЕР:
Найти
производную функции:РЕШЕНИЕ:
Выносим множитель 2 за знак производной.
Применяем правило дифференцирования частного.
Находим производные в числителе.
Упрощаем числитель.
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:
Найти
производную функции:
РЕШЕНИЕ:
Теперь дифференцируем функцию
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:
РЕШЕНИЕ:
Перед тем как использовать правило
дифференцирования частного, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить
саму дробь, или вообще избавиться от неё ?
В
данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.Теперь дифференцируем функцию
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:
Превратим
дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у
показателя знак:
Теперь проведём дифференцирование.
(u(v))' = u'(v) ∙ v'
Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования.
Задания к уроку 3
Теперь проведём дифференцирование.
у' = (хех)' = (х)'ех + х(ех)'
= 1∙ ех + х ех = ех(х + 1).
ОТВЕТ: ех(х + 1)
Дифференцирование сложной функции.
(u(v))' = u'(v) ∙ v'
Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования.
Задания к уроку 3
Комментариев нет:
Отправить комментарий