Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии

четверг, 9 декабря 2021 г.

Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии

ВИДЕО УРОК

Площадь треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Проведём в треугольнике АВС высоту h на основание АС, если угол С – острый,

или на продолжение основания, если угол С – тупой.

Площадь треугольника АВС в обоих случаях выразится так:

S = ¹/₂ bh.

Из прямоугольного треугольника АВD
имеем:

h = a sin C.

Из прямоугольного треугольника АВD
имеем:

h = a sin ∠ BCD.

но угол BCD – смежный по отношению к углу С треугольника АВС, а потому

∠ BCD = 180° – С,

Тогда

h = a sin (180° – С) = a sin С.

Итак, высота h выражается одинаково как и в случае острого, так и в случае тупого угла С.

Заменяем в формуле

S = ¹/₂ bh

h через a sin С. Получим:

S = ¹/₂ ba sin С

или

S = ¹/₂ ab sin С,

что и требовалось доказать. По аналогии

S = ¹/₂ bс sin А,

S = ¹/₂ aс sin В.

ЗАДАЧА:

Найти площадь треугольника, если его стороны 20 и 30 см, а угол между ними 79°6'.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

S = ¹/₂ ab sin С,

S = ¹/₂ ∙ 20 ∙ 30 sin 79°6' ≈

≈ 350 ∙ 0,9820 ≈ 344 см².

Если в формуле

S = ¹/₂ ab sin С

вместо b подставим его значение
(по теореме синусов), то получим:

Подобным же образом находим и два других выражения для площади треугольника в зависимости от сторон его b или с и углов:

ЗАДАЧА:

Вычислить сторону правильного десятиугольника, вписанного в круг радиуса 20 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВ – искомая сторона правильного десятиугольника:

Тогда
Из центра круга О опустим перпендикуляр ОС на сторону АВ:

ОС ⊥ АВ,

∠ СОВ = 18°.

Из треугольника ОСВ имеем:

СВ = ОВ sin ∠ СОВ,

или

СВ = 20 ∙ sin 18° ≈ 20 ∙ 0,3090,

АВ ≈ 2 ∙ 20 ∙ 0,3090 ≈ 12,4 см.

ЗАДАЧА:

Две стороны треугольника равны 23 см и 30 см, а медиана, проведённая к большей из известных сторон – 10 см. Найдите третью сторону треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть в треугольнике АВС известно, что

АС = 23 см, ВС = 30 см,

отрезок АМ – медиана, АМ = 10 см.
На продолжении отрезка АМ за точку М отложим отрезок МD, равный медиане АМ. Тогда АD = 20 см.

В четырёхугольнике АВDС диагонали АD и ВС точкой пересечения М делятся пополам (ВС = МС по условию, АМ = МD по построению). Следовательно, четырёхугольник АВDС – параллелограмм.

Так как сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон, то

АD² + ВС² = 2(АВ² + АС²).

Тогда

20² + 30² = 2(АВ² + 23²),

400 + 900 = 2(АВ² + 529),

АВ² = 121,

АВ = 11 см.

ОТВЕТ: 11 см

ЗАДАЧА:

Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна к боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно а.

РЕШЕНИЕ:

В трапеции АВСD:

ВС ∥ АD, ВС = а,

АВ = СD, АС ⊥ СD,

∠ ВАС = ∠ САD.
∠ САD и ∠ ВСА равны как внутренние разносторонние при ВС ∥ АD и секущей АС.

Поэтому, ∠ ВАС = ∠ ВСА. Тогда ∆ АВС – равнобедренный. Откуда

СD = АВ = ВС = а.

Пусть ∠ САD = α. Тогда

∠ СDА = ∠ ВАD = 2α.

З ∆ АСD (∠ АСD = 90°):

∠ САD + ∠ СDА = 90°,

α + 2α = 90°,

α = 30°.

Поэтому, ∆ АСD – прямоугольный с острым углом 30°. Тогда

АD = 2СD = 2а.

Отрезок СМ – высота трапеции.

З ∆ СМD (∠ СМD = 90°):

Площадь трапеции:

ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна к боковой стороне и образует с основанием трапеции угол 30°. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной вокруг её, равен R

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВСD (ВС ∥ АD) – равнобедренная трапеция,

АС ⊥ СD, ∠ САD = 30°.
Окружность, описанная вокруг трапеции, описана вокруг прямоугольного треугольника АСD, а потому АD – диаметр этой окружности. АD = 2R. Построим высоту СК трапеции. Из прямоугольного треугольника АСD получим: