Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 8 июня 2019 г.

Урок 14. Теорема синусов

ВИДЕО УРОК

Теорема синусов позволяет по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них (или по стороне и двум углам) вычислить остальные элементы треугольника.

Во всяком треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная (для данного треугольника), равная длине диаметра описанной около треугольника окружности.

Или, другими словами:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.
где а, b, с – стороны треугольника А, В, С обозначают ответственно ∠ А, ∠ В, ∠ С.

Возьмём треугольник АВС, длины сторон которого обозначим буквами а, b, с, а величины противолежащих углов – соответственно буквами А, В, С. Опишем вокруг треугольника АВС окружность. Пусть R = ОС – радиус окружности.

Проведём диаметр CD = 2R и соединим вершину В с точкой D. Получим треугольник CBD в котором угол В прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр CD. Углы ∠ BDC и ∠ BAC, как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу CMB, равны между собой.

Так как CD = 2R и ∠ BDC = ∠ BAC = A, то из прямоугольного треугольника CBD имеем:

а = 2R sin A.

Отсюда получаем:

Подобные же соотношения получим и для других сторон и противолежащих им углов треугольника, сделав соответствующие построения:

Объединяя эти три равенства, получим:

Доказанные соотношения имеют место и в случае тупоугольного треугольника.
Предположим, что в треугольнике АВС угол А – тупой.

Тогда проводим диаметр СD и соединяем вершину В треугольника АВС с точкой D. Из прямоугольного треугольника ВСD находим:

BC = CD sin ∠ BDC.

Но угол ВDС в сумме с углом А составляет 180° как противоположные углы выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, а потому ∠ BDC = 180° – A. Поэтому

BC = CD sin ∠ (180° – A),

или

a = 2R sin A.

Отсюда имеем те же соотношения.

Эти соотношения имеют место и для прямоугольного треугольника.

Ряд равных отношений может быть записан и так:

a : b : c = sin A : sin B : sin C.

Теорему синусов можно вывести с помощью формулы, выражающей площадь треугольника.

Рассмотрим треугольник АВС со сторонами а, b, с и углами α, β, γ.
Запишем формулы для вычисления площади данного треугольника:

Откуда

Тогда

или

Из этих равенств следует:

Итак, доказана теорема, которая называется теоремой синусов:

ЗАДАЧА:

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен 6 см. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника АОС, где О – точка пересечения биссектрис треугольника АВС, если ∠ АВС = 60°.

РЕШЕНИЕ:

По следствию из теоремы синусов
R₁ – радиус окружности, описанной вокруг треугольника АОС.

ОТВЕТ: 6 см.

ЗАДАЧА:

На стороне ВС треугольника АВС обозначили точку D. Найдите отрезок ВD, если

∠ С = 90°,

∠ ВАС = α,

∠ ВАD = β,

АВ = с.

РЕШЕНИЕ:

Треугольник АВС – заданный,

∠ В = 90° – α.

∠ ВDА = 180° – β – (90° – α) =

= 90° + α – β.

Из ∆ АDВ:

ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Отрезок АD – биссектриса треугольника АВС,

АD = а,

∠ С = 90°,

∠ ВАС = α.

Найдите отрезок ВD.

РЕШЕНИЕ:

ВD – биссектриса угла А, поэтому

∠ САD = ∠ DАВ = ^α/₂.

В ∆ ВСА (∠ С = 90°):

∠ В = 90° – α.

Из ∆ АВD:

ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен 45°, а противолежащий основанию угол равен 60°. Найдите сторону противолежащую углу в 45°.

РЕШЕНИЕ:

Пусть искомая сторона – х см. Тогда по теореме синусов имеем:

ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

В треугольнике АВС:

∠ А = 45°, ∠ С = 15°, ВС = 4√͞͞͞͞͞6.

Найти АС.

РЕШЕНИЕ:

Пользуясь теоремой о сумме углов треугольника

∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°,

Найдём угол В:

∠ В = 180° – 45° – 15° = 120°.

Сторону АС найдём по теореме синусов:

ОТВЕТ: АС = 12

ЗАДАЧА:

В треугольнике КМN:

∠ K = 80°,

∠ N = 40°,

КN = 6 см.

Найти радиус окружности, описанной около треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Из теоремы о сумме углов треугольника, найдём неизвестный угол треугольника:

∠ М = 180° – ∠ К – ∠ N.

Подставляя значения известных углов, получим:

∠ М = 180° – ∠ 80° – ∠ 40°,

∠ М = 60°.

Далее по расширенной теореме синусов
Выразим из последнего равенства радиус описанной окружности:

Подставляя значение стороны и угла, получим:

ОТВЕТ: R = 2√͞͞͞͞͞3 см

ЗАДАЧА:

Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 см и 8 см. Найти угол, который расположен против данного катета.

РЕШЕНИЕ:

В прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы находится угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за х. Тогда соотношение сторон треугольника выглядит следующим образом: