Урок 8. Преобразование фигур

вторник, 3 сентября 2019 г.

Урок 8. Преобразование фигур

ВИДЕО УРОК

Если каждую точку данной фигуры сместить каким – либо образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура образовалась преобразованием данной фигуры. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками. Понятие движения в геометрии связано с обычным представлениям о перемещении. Но если, говоря о перемещении, мы представляем непрерывный процесс, то в геометрии для нас имеет значение только начальное и конечное положение фигуры. Движение сохраняет расстояния между точками, поэтому переводит различные точки в другие различные точки.

Если каждой точке фигуры F поставить в соответствие некоторую точку плоскости, то все соответствующие точки образуют некоторую фигуру F₁. Говорят, что фигуру F₁ получили в результате преобразования фигуры F. Фигуру F₁ называют образом фигуры F.

При преобразовании фигуры F в фигуру F' имеют место следующие свойства:

1) каждой точке фигуры F соответствует единственная точка фигуры F';

2) каждой точке фигуры F' соответствует некоторая точка фигуры F;

3) различным точкам фигуры F соответствуют различные точки фигуры F';

ПРИМЕР:

Поставим в соответствие каждой точке Х полукруга основание перпендикуляра, опущенного из точки Х на диаметр – точку Х'.
Это соответствие будет преобразованием полукруга в диаметр. Диаметр – образ полукруга.

Поставим в соответствие каждой точке круга К диаметрально противоположную ей точку К'.
Это соответствие будет преобразованием окружности в окружность или окружности саму в себя. Образом окружности будет та же самая окружность.

Перемещения.

Преобразование фигуры F, которое сохраняет расстояния между точками, называют перемещением (движением) фигуры F.

ПРИМЕР:

Преобразованием фигуры F в фигуру F' – перемещение, так как
Свойства перемещения (движения).

1. Два движения, выполненные последовательно, дают опять движение.

2. Преобразование, обратное к данному движению, тоже есть движение.

3. Вследствие перемещения точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, к тому же сохраняется порядок их взаимного расположения. На рисунке

к тому же, если точка С лежит между точками А и В, то точка С' лежит между точками А' и В'.

4. В результате перемещения прямые переходят в прямые, лучи – в лучи, отрезки – в отрезки. На рисунке:

Луч АК – у луч А'К',
5. Вследствие перемещения угол переходит в равный ему угол. На рисунке:

6. Вследствие перемещения параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

Перемещение любой фигуры переводит её в равную фигуру.

Две фигуры называют равными, если существует перемещение, которое переводит одну фигуру и другую.

Симметрия.

Две точки Х и Х' называются симметричными относительно данной точки О, если точка О – середина отрезка ХХ'.

Точку О считают симметричной самой себе и называют центром симметрии.

Чтобы построить точку Х', симметричную точки Х относительно точки О, необходимо:

1) провести луч ОХ;

2) отложить на нем с другой стороны от точки О отрезок

ОХ' = ОХ.

Преобразование, при котором каждая точка Х фигуры F переходит в точку F' фигуры Х', симметричную относительно данной точки О, называют преобразованием симметрии относительно точки О. Фигуры F и F' называют симметричными относительно точки О.

ПРИМЕР:

На рисунке показано построение фигуры, симметричной данной относительно точки О.

Отрезка.
Окружности.
Треугольника.
Свойства центральной симметрии.

– центральная симметрия является перемещением, поэтому она обладает всеми свойствами перемещения;

– образом прямой, проходящей через центр симметрии, является сама эта прямая, а образом прямой, не проходящей через центр симметрии, является параллельная ей прямая.

Образом произвольной точки М(х₀; у₀) при центральной симметрии с центром в начале координат будет точка М₁(–х₀; –у₀).

Фигуру F называют центрально симметричною, если существует такая точка В, при симметрии относительно которой фигура F переходит в себя.

ПРИМЕР:

Примером центрально симметричной фигуры является

Квадрат.
Окружность.
Центром симметрии квадрата является точка пересечения его диагоналей, а круга – его центр.

Точки Х и Х₁ называют симметричными относительно прямой l, если прямая l является срединным перпендикуляром к отрезку ХХ₁.

Осевой симметрией относительно прямой l называют преобразование, при котором каждая точка Х фигуры F переходит в точку X₁ фигуры F₁, симметричную относительно прямой l. Осевая симметрия является перемещением (движением), следовательно, она имеет все свойства перемещения. Если при симметрии относительно прямой l фигура переходит сама в себя, то фигуру называют симметричной относительно прямой l, а прямую l – осью симметрии фигуры. Симметрию с осью l называют осевой симметрией.

ПРИМЕР:

На рисунках показано построение фигур, симметричных данной относительно прямой l.

Отрезка.
Окружности.
Треугольника.
Точки, симметричные относительно оси х, имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты.

Точки, симметричные относительно оси у, имеют одинаковые ординаты и противоположные абсциссы.

Поворот.

Поворотом плоскости вокруг данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом.

Поворотом фигуры F вокруг точки О на угол по часовой стрелке (против часовой стрелки) называют преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждой точке Х фигуры F ставится в соответствие такая точка Х₁ фигуры F₁, то есть

ОХ' = ОХ,

∠ ХОХ' = α.

Точку О называют центром поворота, а угол α – углом поворота.

Центр поворота переходит в себя. Поворот является перемещением (движением).

Поворот задается:

– центром поворота;

– углом поворота;

– направлением поворота.

Чтобы построить точку Х', в которую перейдет точка Х вследствие поворота вокруг точки О на угол α, нужно:

1) провести луч ОХ;

2) от луча ОХ отложить угол ХОА равным углу α. На рисунке – против часовой стрелки,
а на рисунке

– против часовой стрелки,
а на рисунке

– по часовой стрелке;

3) на луче ОА найти точку Х', которая находится на расстоянии ОХ от центра поворота А.

Последовательное выполнение двух поворотов вокруг одной и той же точки являются поворотом.

Чтобы выполнить поворот фигуры F вокруг точки О на угол α, нужно каждую точку Х фигуры F сместить по дуге окружности с центром О радиуса ОХ на угол α.

Параллельное перенесение.

Наглядно параллельное перенесение означают как превращение, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Такое определение имеет тот недостаток, что в нем употребляется высказывание ''в одном и том же направлении'', которое само нуждается в точном определении. В связи с этим параллельному перенесению мы дадим другое определение, которое отвечает тому же наглядному представлению, но уже строгое. Параллельное перенесение можно задать парой точек, указав, какая из точек переходит в которую. Параллельное перенесение можно задать формулами.

Введем на плоскости Декартовые координаты х, у.

Превращение фигуры F, при котором произвольная ее точка (х; у) переходит в точку

(х + а; у + b),

где а и b одни и те же для всех точек (х; у), называется параллельным перенесением.

В прямоугольной системе координат параллельное перенесение, которое переводить точку Х(х; у) в точку Х'(х'; у'), задаётся формулами:

х' = х + а;

у' = у + b,

где а и b – координаты вектора переносу.

Эти формулы выражают координаты х_1,у₁ точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном перенесении.

Параллельное перенесение есть движение.

Параллельным перенесением фигуры F называют такое превращение фигуры F в фигуру F', при котором все точки фигуры F смещаются на один и тот же вектор (в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние).

По-другому говорят, что все точки фигуры смещаются вдоль параллельных прямых или прямых, которые сбегаются в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние.

На рисунке

Х Х' ∥ AA' ∥ CC' ∥ NN',

Х Х' = AA' = CC' = NN'.

Каждую точку фигуры F сместили в одном и том же направлении на одно и то же расстояние:

Следовательно, фигура F перейдет в фигуру F' вследствие параллельного перенесения на вектор

Свойства:

– параллельное перенесение является перемещением, потому имеет все его свойства;

– при параллельном перенесении точки смещаются вдоль параллельных прямых (или прямых, которые сбегаются) на одно и то же расстояние;

– при параллельном перенесении прямая переходите в параллельную ей прямую или в себя, какие бы не были две точки А и А₁, существует одно и до того единственное параллельное перенесение, при котором точка А переходит в точку А₁;

– перемещение, обратное параллельному перенесению, является параллельным перенесением;

– последовательное выполнение двух параллельных перенесений является параллельным перенесением;

– две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлена из полупрямой, дополняющей вторую;

– две полупрямые называются одинаково направленными или зрел направленными, если они совмещаются параллельным перенесением.

То есть существует параллельное перенесение, которое переводит одну пол прямую в другую. Если полупрямые а и b одинаково направлены и полупрямые b и с одинаково направлены, то полупрямые а и с также одинаково направлены.

Чтобы построить точку А', в которую перейдет точка А при параллельном перенесении, которое переводит точку Х в точку Х', необходимо:

1) провести прямую ХХ':

2) через точку А провести прямую

AA' ∥ ХХ';

3) на прямой AA' отложить отрезок

AA' = ХХ'

так, чтобы лучи AA' и ХХ' были сонаправлены. Точка A' – искомая точка.

Равенство фигур.

Две фигуры называются равными, если они переводятся движением друг в друга. Для обозначения равенства фигур пользуются обычным знаком равенства. Запись F = F₁ означает, что фигура F равна фигуре F₁. В записи равенства треугольников:

∆АВС = ∆А₁В₁С₁

предусматривается, что вершины, которые совмещаются во время движения, стоят на соответствующих местах. При таком условии равенство треугольников, которое определяется через совмещение их движением, и равенство, как мы ее понимали до сих пор, выражают одно и то же. Это значит, что когда в двух треугольниках соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то эти треугольники совмещаются движением. И наоборот, если два треугольника совмещаются движением, то у них соответствующие стороны равные и соответствующие углы равны.

Превращение подобия.

Превращение фигуры F в фигуру F' называется превращением подобия, если при этом превращении расстояния между точками изменяются в одно и то же количество раз.

Превращением сходства с коэффициентом k ˃ 0 называют превращение фигуры F в фигуру F₁, при котором произвольным точкам Х и Y фигуры F ставят в соответствие такие точки

X₁Y₁ = kXY.

Коэффициент k(k ˃ 0) называют коэффициентом подобности.

Это означает, что если произвольные точки Х и Y фигуры F вследствие превращения подобия переходят в точки Х' и Y' фигуры F', то

Х'Y' = k XY, где k ˃ 0.

Перемещение является отдельным случаем превращения подобия, если

k = 1.

Свойства превращения подобия.

– превращение подобия переводит прямые в прямые, лучи – в лучи, отрезки – в отрезки.

– превращение подобия переводит угол в равный ему угол;

– преобразование подобия переводит плоскости в плоскости.

Две фигуры называют подобными, если они переводятся друг в друга превращением подобия. Запись F~ F' означает: фигура F подобна фигуре F'. Иногда указывают коэффициент подобия, например, если k = 3, пишут F³~ F'. Коэффициент подобия k равняется отношению длин соответствующих линейных элементов фигур F' и F.

Свойства подобных фигур.

– любая фигура подобна сама себе: F~ F;

– если F₁~ F₂, то F₂~ F₁;

– если F₁~ F₂, а F₂~ F₃, то F₁~ F₃;

– отношение площадей подобных фигур равняется квадрату коэффициента подобия, то есть если

F^k~ F₁.

Гомотетия.

Пусть дан многоугольник ABCD.

Возьмём произвольную точку О и построим векторы

и так далее.

Многоугольник A₁B₁C₁D₁ будет подобным многоугольнику ABCD.

В этом построении использовалось требование, при котором точка х переходит в точку Х₁ и что

точка 0 переходит в себя.

Таким образом, задача построения фигуры, подобной данной фигуре, приводит к новому виду преобразований, которое называют гомотетией.

Гомотетией с центром О называют превращение фигуры F в фигуру F', вследствие которого каждая точка Х фигуры F переходите в точку Х' фигуры F' так, что

Точку О называют центром гомотетии, а число k – коэффициентом гомотетии. На рисунке отрезок А₁В₁ гомотетичний отрезку АВ с центром гомотетии О и k = 2.

Если при гомотетии фигура Ф₁ переходит в фигуру Ф₂, то эти фигуры называют гомотетичными.

Если k = 1, то каждая точка Х перейдёт сама в себя. Центр гомотетии переходит сам в себя.

Если k ˃ 0, то гомотетичные фигуры располагаются по одну сторону от центра гомотетии. Точки Х и Х₁ лежат на прямой ОХ по одну сторону от центра гомотетии (так как векторы

сонаправлены).

Если k < 0, то гомотетичные фигуры располагаются по разные стороны от центра гомотетии. Точки Х и Х₁ лежат на прямой ОХ по разные стороны от центра гомотетии (так как векторы