Урок 3. Площа квадрата

среда, 14 января 2015 г.

Урок 3. Площа квадрата

ВІДЕОУРОК
Якщо сторона квадрата дорівнює а, то його площа становить

а × а = а².

Отже, отримали формулу площі квадрата.

Площа квадрата зі стороною а дорівнює квадрату його сторони.

Формули для обчислення площі квадрата.

a – сторона квадрата;

d – діагональ;

Р – периметр;

S – площа;

R – радіус описаного кола;

r – радіус вписаного кола;

l – відрізок зображений на рисунку (часто використовується в складних прикладах).

ЗАДАЧА:

У скільки разів зміниться площа квадрата, якщо його сторону збільшити у 5 разів ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З формули
видно, якщо сторона квадрата збільшиться в 5 разів, його площа зміниться в 25 раз.

S = (5a)² = 25a².

ЗАДАЧА:

У скільки разів збільшиться площа квадрата, якщо його діагональ збільшиться у 2 рази ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З формули
видно, що й діагональ квадрата збільшиться вдвічі, його площа збільшиться вчетверо.
ЗАДАЧА:

Знайдіть площу квадрата ABCD, якщо АС = 10.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

АD = СD як сторони квадрата.

За теоремою Піфагора знаходимо:

АС² = АD² + СD² = 2∙ АD²,

тоді

2∙ АD²= 100, АD² = 50,

тобто площа квадрата дорівнює 50.

ЗАДАЧА:

Знайти сторону квадрата, рівновеликого прямокутнику зі сторонами 9 та 4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У рівновеликих фігур площі однакові, отже площа прямокутника

9 ∙ 4 = 36

дорівнює площі квадрата.

Тоді сторона квадрата дорівнюватиме:

а = √͞͞͞͞͞36 = 6.

ЗАДАЧА:

Сторони квадрата ABCD розділені точками M, N, K, P щодо 1 : 2 кожна. Знайти відношення площ квадрата та чотирикутника.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розглянемо трикутник АМР. Він прямокутний. Позначимо бік АМ = х, тоді сторона АР = 2х. Відповідно до теореми Піфагора сторона
Чотирьохкутник MNKP – квадрат зі стороною АМ = √͞͞͞͞͞5 х, отже, площа цього квадрата дорівнює 5х².

Площа квадрата ABCD дорівнюватиме

(х + 2х)² = 9х².

Тоді відношення площ цих квадратів буде рівним:

9х² : 5х² = 9 : 5 = 1,8.

ЗАДАЧА:

У квадраті ABCD відстань від точки перетину діагоналей до однієї з його сторін дорівнює 5. Знайдіть площу цього квадрата.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Нехай Е – точка перетину діагоналей квадрата ABCD. У квадраті діагоналі рівні, перетинаються і точкою перетину діляться навпіл

АЕ = ЕD і ∠ DАЕ = ∠ ЕDА.

Так як квадрат є і ромбом, то в квадраті діагоналі ділять кути навпіл

∠ DАЕ = 0,5 ∙ 90° = 45°, тоді

∠ АED = 180° – 45° – 45° = 90°.

У трикутнику АDЕ опустимо з Е висоту ЕF на АD (довжина EF є відстань від точки Е до сторони). Так як АЕ = ЕD, то ЕF ЕF є і медіаною, але у прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, тоді

ЕF = 0,5∙ АD.

Аналогічно інші відстані від Е до сторін квадрата дорівнюють половині сторони квадрата, тоді АD = 10, отже, площа квадрата ABCD дорівнює 100.

ЗАДАЧА:

Обчислимо площу квадрата, якщо його сторона 3 см 6 мм.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Запишемо сторону квадрата в міліметрах. Дістанемо 36 мм. Тепер знайдемо його площу в квадратних міліметрах:

S = 36² = 36 ∙ 36 = 1296 (мм)².

ЗАДАЧА;

Периметр квадрата рівний 24 см. Знайдіть площу квадрата.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Периметр дорівнює 4 × а,

де а – це сторона квадрата.

4 × а = 24,

а = 24 : 4 = 6.

= а × а = 6 × 6 = 36 см².

Або по формулі:

ВІДПОВІДЬ: 36 см²

ПРИКЛАД:

У квадрата сторона 2 см, а у прямокутника довжина 9 см, а ширина 6 см. Яка площа червоної зони ?

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Площа квадрата дорівнює 4 см². Він розбитий на 4 рівні квадрати. Площа меншого квадрата дорівнює 1 см², а площа прямокутника дорівнює 54 см², тому площа червоної зони рівна:

54 – 1 = 53 (см²).

ВІДПОВІДЬ: 53 см²

ЗАДАЧА:

На скільки квадратних сантиметрів площа квадрата зі стороною 12 см більша за площу прямокутника зі сторонами 9 см і 1 см ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Площа квадрата дорівнює:

12 ∙ 12 = 144 (см²).

Площа прямокутника дорівнює:

9 ∙ 1 = 9 (см²).

Тоді різниця площ буде рівна:

144 – 9 = 135 (см²).

ВІДПОВІДЬ:

Площа квадрата більша за площу прямокутника на 135 (см²).

Завдання до уроку 3

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 14 января 2015 г.