Показниковими звичайно
називають рівняння, у яких змінна входить у показник степеня (а основа цього
степеня не містить змінної).
Розв'язання показникових рівнянь ґрунтується на
таких теоремах.
Якщо основа двох степенів і степені рівні,
причому основи а ˃ 0, і а ≠ 1, то показники
степенів також рівні, тобто якщо
аm
= an, m = n.
Якщо у рівних степенів
показники степенів рівні і відмінні від нуля, то рівні і основи степенів, тобто
якщо
аm
= bm, m ≠ 0, то а = b
(мають на увазі лише додатне а і b).
ПРИКЛАД:
5х+2 = 125,
3х
×
2х = 8х+3,
32х
+ 4 ×
3х – 5 = 0.
Зверніть увагу! У основі степеня (внизу) – тільки
числа. У показниках степеня (вгорі) – найрізноманітніші вирази з іксом. Якщо,
раптом, в рівнянні вилізе ікс де-небудь, окрім показника, наприклад:
2х
= 3 + х,
Це буде вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння
не мають чітких правил рішення. Ми їх доки розглядати не будемо.
Розглянемо найпростіше показникові рівняння.
ах
= b.
Хоча навіть чисті показові рівняння чітко
вирішуються далеко не завжди. Але існують певні типи показових рівнянь, які
вирішувати можна і треба.
Розв'язування
простих показникових рівнянь.
ПРИКЛАД:
3х
= 32.
Навіть
без всяких теорій, по простому підбору ясно, що
х
= 2.
Ніяке
інше значення х не підходить. Що ми зробили ? Ми, фактично, просто викинули однакові основи
(трійки).
Якщо
ліва й права частини показникового рівняння містять тільки добутки, частки,
корені або степені, то доцільно за допомогою основних формул спробувати
записати обидві частини рівняння як степені з однією основою
Проте
запам'ятаєте:
прибирати основи можна тільки тоді, коли ліворуч і справа числа-основи
знаходяться в гордій самотності, без всяких сусідів і коефіцієнтів.
ПРИКЛАД:
2х
+ 2х+1 = 23,
2 × 2х = 24.
Двійки
прибирати не можна!
ПРИКЛАД:
Розв'язування
показникових рівнянь.
При
рішенні показових рівнянь, головні правила – дії з основами. Без знань цих дій
нічого не вийде. До дій з основами потрібно додати особисту спостережливість і
кмітливість.
Нам
потрібно однакові числа – основи ? Ось і шукаємо їх в прикладі в явному або зашифрованому виді.
ПРИКЛАД:
22х
– 8х+1 = 0.
Перший
погляд на основи. Вони різні. Два і вісім. Самий час згадати, що
8 = 23.
Двійка
і вісімка – родичі по мірі. Цілком можна записати:
8х+1
= (23)х+1.
Якщо
згадати формулу з дій з степенями:
(аn)m = anm,
те
виходить:
8х+1
= (23)х+1
= 23(х+1).
Початковий
приклад став виглядати так:
22х
– 23(х+1) = 0.
Перенесемо
23(х+1)
управо,
отримуємо:
22х
= 23(х+1).
Прибираємо
основи:
2х = 3(х +1),
х
= –3.
В даному прикладі нас виручило знання мір двійки. Ми
пізнали у вісімці зашифровану двійку. Цей прийом (шифрування загальних підстав
під різними числами) – дуже популярний прийом в показникових рівняннях.
Потрібно уміти дізнаватися в числах основи інших чисел. Це украй важливо для
показникових рівнянь. Річ у тому, що звести будь-яке число у будь-яку степінь –
не проблема. Перемножити, хоч на папірці, та і все. Наприклад, звести 3 в п'яту степінь зможе кожен (243 виходить, якщо таблицю множення знаєте). Але
в показнткових рівняннях набагато частіше потрібно не підносити до степеня, а
навпаки дізнаватися, яке число в якому ступені ховається за числом 243,
або скажемо, 343.
Тут ніякий калькулятор не допоможе.
Основи деяких чисел бажано знати напам'ять:
2 = 21,
4 = 22,
8 = 23,
16 = 24 = 42,
27 = 33,
32 = 25,
64 = 26 = 43 = 82,
81 = 34,
100 = 102,
125 = 53,
128 = 27,
216 = 63,
243 = 35,
256 = 28 = 44,
343 = 73,
512 = 29 = 83,
625 = 54,
729 = 36 = 93,
1024 = 210 = 45.
При рішенні показникових рівнянь дуже часто
допомагає винесення загального множника за дужки.
Якщо в одній частині показникового рівняння стоїть
число, а в іншій усі члени містять вираз виду
ах (показники степенів відрізняються тільки
вільними членами), то зручно в цій частини рівняння винести за дужки найменший
степінь а.
ПРИКЛАД:
32х+4
= 11×9х = 210.
Перший
погляд – на основи! Основи
у степенів різні. Трійка і дев'ятка. А потрібно, щоб були однакові. Робимо
наступне:
9х
= (32)х = 32х.
За
тими ж правилами дій з основами:
32х+4
= 32х×34,
тому:
32х×34
– 11×32х = 210.
Ми
навели приклад до однакових основ.
Що
в цьому показовому рівнянні можна зробити ?
Запам'ятовуємо
саме універсальне і потужне правило рішення усіх математичних завдань:
Не
знаєш, що треба – роби, що можна!
У
лівій частині прямо проситься винесення за дужки множника 32х.
32х(34
– 11) = 210.
Підрахуємо
вираження в дужках:
34 – 11 = 81 – 11 = 70.
Тоді:
70×32х = 210.
Для
ліквідації основ нам потрібна чиста степінь, без всяких коефіцієнтів, тому
ділимо обидві частини рівняння на 70:
32х =
3,
32х =
31,
2х = 1,
х
= 0,5.
ПРИКЛАД:
5х
– 2 ×
5х-2 = 23.
5х-2(52
– 2) = 23,
5х-2
×
23 = 23,
5х-2
= 1,
5х-2
= 50,
х
– 2 = 0,
х
= 2.
Трапляється, що вирулювання на однакові підстави
виходить, а ось їх ліквідація – ніяк. Таке буває в показових рівняннях іншого
типу.
Розв'язування
більш складних показникових рівнянь.
ПРИКЛАД:
4х
– 3×2х + 2 = 0.
Спочатку
переходимо до однієї основи. До двійки.
4х
= (22)х = 22х.
Отримаємо
рівняння:
22х
– 3×2х + 2 = 0.
Попередні
прийоми не спрацюють. Тому є ще один універсальний спосіб. Називається він
заміна змінною. Суть способу проста. Замість одного складного значка (у нашому випадку – 2х) пишемо інший (наприклад t).
Нехай:
2х
= t,
тоді
22х
= 2х2 = (2х)2 = t2.
Замінюємо
в нашому рівнянні усі міри з іксами на t:
t2
– 3×t + 2 = 0.
Вирішуємо
квадратне рівняння, отримуємо:
t1
= 2,
t2
= 1.
t1
= 2 = 2х,
2х
= 2,
х1
= 1.
t2
= 1 = 2х,
2х
= 10,
х2
= 0.
Якщо не можна звести до однієї основи, то пробуємо
звести всі степені до двох основ так, щоб одержати однорідне рівняння (яке
розв'язується діленням обох частин рівняння на найбільший степінь одного з
видів змінних).
ПРИКЛАД:
4х
– 3×6х – 4×9х = 0.
Зведемо
всі степені до двох основ
2
і 3:
22х
+ 3×2х×3х – 4×32х = 0.
Маємо
однорідне рівняння (у всіх членів однаковий сумарний степінь – 2х). для його
розв’язування поділимо обидві частини на
Дає рівняння
t2 + 3t – 4 = 0,
t1
= 1, t2 = –4.
Обернена
заміна дає
В інших випадках переносимо всі члени рівняння в
один бік і пробуємо розкласти одержаний вираз на множники або застосуємо
спеціальні прийоми розв’язування, у яких використовуються властивості
відповідних функцій.
ПРИКЛАД:
6х
– 9×2х – 2×3х = 0.
Якщо
попарно згрупувати члени в лівій частині рівняння і в кожній парі винести за
дужки спільний множник, то одержуємо:
2х(3х – 9)
– 2(3х – 9) = 0.
Тепер
можна винести за дужки спільний множник:
3х
– 9:
(3х
– 9)(2х – 2) = 0.
Тоді
3х
– 9 = 0,
або
2х
– 2,
одержуємо
два рівняння:
3х
– 9,
тоді х =
2,
2х
– 2,
тоді х =
1.
Практичні
поради:
– Насамперед дивитеся
на підстави мір. Пробуйте, чи не можна їх зробити однаковими. Потрібно це
робити, активно використовуючи дії з мірами. Не забуваємо, що числа без іксів
теж можна перетворювати на міри.
– Пробуємо привести
показове рівняння до виду, коли ліворуч і справа коштують однакові числа в яких
завгодно мірах. Використайте дії з мірами і розкладання на множники. Те що
можна порахувати в числах – вважаємо.
– Якщо попередня рада
не спрацювала, пробуємо застосувати заміну змінною. У результаті може вийти
рівняння, яке легко вирішується. Найчастіше квадратне, або дробове, яке теж
зводиться до квадратному.
– Для успішного
вирішення показових рівнянь потрібно мірі деяких чисел знати в
"обличчя".
Формули,
які допоможуть вам вирішити показові рівняння.
Завдання до уроку 2
Інші уроки:
Комментариев нет:
Отправить комментарий