Урок 8. Переміщення при прямолінійному рівнопріскореному русі

ВИДЕО УРОК

Найважливіше – це уміти обчислювати переміщення тіла, тому що, знаючи переміщення, можна знайти і координати тіла, а це і є головне завдання механіки. Як же вичислити переміщення при рівноприскореному русі ?

Формулу для визначення переміщення найпростіше отримати, якщо скористатися графічним методом.

При прямолінійному рівномірному русі переміщення тіла чисельно дорівнює площі фігури (прямокутника), розташованої під графіком швидкості. Чи вірно це для рівноприскореного руху ?

При рівноприскореному русі тіла, що відбувається уздовж координатної осі  Х, швидкість з часом не залишається постійною, а міняється з часом згідно з формулами:

або

Тому графіки швидкості мають вигляд, показаний на малюнку

Пряма  1  на цьому малюнку відповідає руху з позитивним прискоренням (швидкість росте), пряма  2 – руху з негативним прискоренням (швидкість убуває). Обидва графіки відносяться до випадку, коли у момент часу  t = 0  тіло мало швидкість  v₀.

Виділимо на графіці швидкості рівноприскореного руху маленьку ділянку  ab

і опустимо з точки  a  і  b  перпендикуляри на вісь  t. Довжина відрізку  cd  на осі  t  чисельно дорівнює тому малому проміжку часу, за який швидкість змінилася від її значення в точці  а  до її значення в точці  b. Під ділянкою графіку  ab  вийшла вузька смужка  abdc.

Якщо проміжок часу, чисельно рівний відрізку  cd, досить малий, то і в плині цього часу зміна швидкості теж мала. Рух в плині цього часу зміна швидкості теж мала. Рух в течії цього проміжку часу можна вважати рівномірним, і смужка  abdc  тоді мало відрізнятиметься від прямокутника. Площа смужки тому чисельно дорівнює переміщенню тіла за час, що відповідає відрізку  cd.

Але на такі вузькі смужки можна розбити усю площу фігури, розташованої під графіком швидкості. Отже, переміщення за весь час  t  чисельно дорівнює площі трапеції  OABC. Площа ж трапеції, як відомо з геометрії, дорівнює добутку напівсуми її основи на висоту. У нашому випадку довжина однієї з підстав трапеції чисельно рівна  v₀, довжина іншого – v. Висота ж її чисельно рівна  t. Звідси витікає, що переміщення  s  рівне:

Підставимо в цю формулу замість  v  вираження

тоді

Розділивши почленно чисельник на знаменник, отримаємо:

Підставимо у формулу

вираження

отримаємо (див. мал.):

або

Формулу

застосовують у тому випадку, коли вектор прискорення

спрямований так само як і вісь координат, а формулу

тоді, коли напрям вектору прискорення протилежний до напряму цієї осі.

Якщо початкова швидкість  v₀  дорівнює нулю (див. мал.)

і вектор прискорення спрямований по осі координат, то з формули

витікає, що

Якщо ж напрям вектору прискорення протилежний до напряму осі координат, то з формули

витікає, що

(знак <<–>> тут означає, що вектор переміщення, так само як і вектор прискорення, спрямований протилежно вибраній осі координат).

У формулах

і

Величини  s  і  v₀  можуть бути як позитивними, так і негативними – це проекції векторів

Тепер, коли ми отримали формулу для обчислення переміщення, можна легко отримати і формулу для обчислення координати тіла. Для того, щоб знайти координату тіла  x  в якийсь момент часу  t, потрібно до початкової координати  x₀  додати проекцію вектору переміщення тіла на вісь координат:

x = x₀ + s.

Тому

якщо вектор прискорення спрямований так само як і вісь координат, і

якщо напрям вектору прискорення протилежний до напряму осі координат.

Це і є формули, що дозволяють знаходити положення тіла у будь-який момент часу при прямолінійному рівноприскореному русі. (Такі формули іноді називають рівняннями руху). Для цього треба знати початкову координату тіла  х₀, його початкову швидкість

і прискорення

ЗАДАЧА:

Водій автомобіля, що рухається із швидкістю  72 км/год, побачив червоний сигнал світлофора і натиснув на гальмо. Після цього автомобіль почав гальмувати, рухаючись з прискоренням  5 м/сек². Яка відстань пройде автомобіль за час  t₁ = 2 сек  після початку гальмування ? Яка відстань пройде автомобіль до повної зупинки ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За початок координат виберемо ту точку дороги, в якій автомобіль почав гальмувати. Координатну вісь направимо по напряму руху автомобіля (див. мал.),

а початок відліку часу віднесемо до моменту, в який водій натиснув на гальмо. Швидкість автомобіля спрямована так само, як вісь  Х, а прискорення автомобіля протилежне до напряму цієї осі. Тому проекція швидкості на вісь  Х  позитивна, а проекція прискорення негативна і координату автомобіля треба знаходити по формулі:

Підставляючи в цю формулу значення

отримаємо:

Тепер знайдемо, яка відстань пройде автомобіль до повної зупинки. Для цього нам треба знати час руху  t₂. Його можна упізнати, скориставшись формулою

Оскільки у той момент, коли автомобіль зупиняється, його швидкість  v  дорівнює нулю, то

і

Тепер знайдемо, яку відстань пройде автомобіль до повної зупинки. Для цього нам треба знати час руху  t₂. Його відстань, яку пройде автомобіль до повної зупинки, дорівнює координаті автомобіля у момент часу  t₂:

ЗАДАЧА:

Визначте переміщення тіла, графік швидкості якого показаний на малюнку.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки спочатку модуль швидкості тіла зменшується з часом, то вектор прискорення спрямований протилежно напряму осі  Х. Для обчислення переміщення скористаємося формулою

З графіку видно, що при  t = τ  швидкість дорівнює нулю. Але

Тому

звідки

Увесь час рухи  t = 2τ, тому

Отримана відповідь показує, що графік, зображений на малюнку, відповідає руху тіла спочатку в одному напрямі, а потім на таку ж відстань в протилежному напрямі, внаслідок чого тіло опиняється у вихідній точці.

ЗАДАЧА:

Тіло рухається уздовж прямої рівноприскорене з прискоренням

Знайдіть різницю відстаней, прохідних тілом за два наступних один за іншим однакових проміжку часу  τ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Приймемо пряму, уздовж якої рухається тіло, за вісь  Х.

Якщо в точці  А  швидкість тіла була рівна  v_А, то його переміщення  АВ  за час  τ  рівне:

У точці  В  тіло мало швидкість

і його переміщення за наступний проміжок часу  τ  рівне:

Модулі переміщень

дорівнюють відстаням  l₁  і  l₂, пройденим тілом за відповідні проміжки часу. Знайдемо їх різницю:

Таким чином,

ПРИКЛАД:

Рівняння руху матеріальної точки уздовж осі має вид

x = А + Вt + Сt³, де

А = 2 м, В = –2 м/сек,

С = 0,5 м/сек³.

Знайти координату, швидкість і прискорення точки в момент часу  t = 3 сек. Знайти середні значення швидкості і прискорення у проміжок часу від  1 сек  до  3 сек.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координату  х  знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення коефіцієнтів  А, В, С  і часу  t = 3 сек.

х = 2 – 2×3 + 0,5×3³ = 9,5 (м).

Миттєва швидкість щодо осі  х – це перша похідна від координати за часом:

v_x = –2 + 3×0,5×3² = 11,5 (м/сек)

Миттєве прискорення точки знайдемо, узявши першу похідну від швидкості за часом:

a_x = 6×0,5×3 = 9 (м/сек²)

Середня швидкість визначається відношенням:

x₁ = 2 – 2t₁ + 0,5t³ = 0,5 м,

x₂ = 2 – 2t₂ + 0,5t³ = 9,5 м.

Тоді

Середня прискорення визначається за формулою:

v₁ = –2 + 3×0,5t² = –0,5 м,  t = 1 сек.

v₂ = –2 + 3×0,5t² = 11,5 м,  t = 3 сек.

Тоді

Завдання до уроку 8

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Рух матеріальної точки
• Урок 2. Рівномірний прямолінійний рух
• Урок 3. Графік швидкості і шляху рівномірного прямолінійного руху
• Урок 4. Векторні і скалярні величини
• Урок 5. Дії над векторами
• Урок 6. Нерівномірний прямолінійний рух
• Урок 7. Прискорення
• Урок 9. Середня швидкість при прямолінійному рівноприскореному русі. Зв'язок між переміщенням і швидкістю.
• Урок 10. Приклади прямолінійного рівноприскореного руху
• Урок 11. Криволінійний рух
• Урок 12. Рух по колу
• Урок 13. Обертання твердого тіла