ВИДЕО УРОК
Если а > b, с
> d, то
а + с > b + d;
а – с > b – d.
Если а < b, с
< d, то
а + с < b + d;
а – с < b – d.
Это свойство формулируется следующим образом:
Прибавим к обеим
частям неравенства а
< b число с, получим
а + с < b + с.
Прибавим к обеим
частям неравенства с
< d число b, получим
b + с < b + d.
Из неравенств
а + с < b + с.
и
b + с < b + d
следует, что
а + с < b + d.
Если сложить почленно верные неравенства со знаком в
одну сторону, то получится верное неравенство.
Из одного неравенства можно почленно вычитать другое
неравенство со знаком в противоположную сторону, оставляя знак первого
неравенства.
Если а > b, с
< d, то
а – с > b – d.
Если а < b, с > d, то
а – с < b – d.
ПРИМЕР:
Сложите почленно неравенства:
5 ˃ 4 и –1 ˃ –2.
РЕШЕНИЕ:
(5 + (–1)) ˃ (4 + (–2)),
4 ˃ 2.
ПРИМЕР:
Сложите почленно неравенства:
5 ˃ 4 и –2 < –1.
РЕШЕНИЕ:
В случае, если знаки у
неравенства не одинаковы, складывать их почленно нельзя. Сначала надо поменять
местами левую и правую часть одного из неравенств, что автоматически повлечёт
за собой смену знака неравенства на противоположный. Действительно, если
5 ˃ 4, то 4 < 5.
5 ˃ 4, –2 < –1.
4 < 5, –2 < –1,
(4 – 2) ˃ (5 – 1),
2 < 4.
Или, чтобы изменить знак неравенства на противоположный,
обе его части можно умножить на отрицательное число, например, на (–1).
5 ˃ 4, (–2)(–1) < (–1) (–1).
5 ˃ 4, 2 ˃ 1.
(5 + 2) ˃ (4 + 1).
7 ˃ 5.
Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.
Если а < b, с > d, где
а, b, с и d – положительные
числа, то
ас < bd.
Почленное умножение обеих частей даёт в
результате положительное число.
Умножим обе части неравенства а
< b на положительное число с, получим
ас < bс.
Умножим обе части неравенства с
< d на положительное число
b, получим
bс < bd.
Из неравенств
ас < bс и bс < bd
следует, что
ас < bd.
Эти рассуждения справедливы и для почленного умножения более чем двух
неравенств указанного типа.
Если в неравенствах
ас < bс и bс < bd
среди чисел
ас < bс и bс < bd
имеются
отрицательные, то неравенство
ас < bd
может оказаться
неверным.
ПРИМЕР:
Перемножим почленно верные неравенства
–3 < –2 и –5 < 6,
получим неравенство
15 < –12,
которое не является верным.
ПРИМЕР:
Перемножим почленно верные неравенства
2 ˃ 1 и 3 ˃ 2,
РЕШЕНИЕ:
2 × 3 ˃ 1 × 2,
6 ˃ 2.
ПРИМЕР:
Перемножим почленно верные неравенства
2 ˃ 1 и 3 ˃ (–2),
РЕШЕНИЕ:
Перемножать такие неравенства нельзя, так как правая
часть второго неравенства отрицательна.
ПРИМЕР:
Неравенства
–5 < –4,
1 < 3
являются верными, а почленное их умножение даст следующий
результат в следующем виде:
1 ∙ (–5) < 3 ∙ (–4),
–5 < –12.
Если числа а и b положительные и а < b,
то an <
bn (n – натуральное
число).
Перемножим
почленно n верных
неравенств а < b, в которых а и b –
положительные числа, получим верное неравенство
an < bn.
ПРИМЕР:
Известно, что
15 < х < 16 и 2 < у < 3.
Требуется оценить:
сумму х + у,
разность х – у,
произведение ху
частное х/у.
1. Оценим сумму
х + у.
Применив теорему о почленном сложении неравенств к неравенствам
15 < х и 2 < у,
а затем к неравенствам
х < 16 и у < 3,
получим
17 < х + у и х + у < 19.
Результат можно записать в виде двойного неравенства
17 < х + у < 19.
Запись обычно ведут короче:
2. Оценим разность
х – у.
Для этого представим разность
х – у
в виде суммы
х + (– у).
Сначала оценим выражение –у. Так
как
2 < у < 3, то
–2 > –у > –3, т. е.
–3 < –у <
–2.
Применим теперь теорему о почленном сложении
неравенств:
3. Оценим произведение ху.
Так как каждое из чисел х и у
заключено между положительными числами, то они также являются
положительными числами. Применив теорему о почленном умножении неравенств,
получим:
4. Оценим частное
4. Оценим частное
х/у.
По теореме о почленном умножении неравенств имеем:
ПРИМЕР:
1. х + у
2. у – х
3. ху
4. х/у
Для этого представим частное х/у в виде произведения
х × 1/у.
Сначала оценим
выражение 1/у. Так как
2 < у < 3, то
1/2 > 1/у
> 1/3, т. е.
1/3 < 1/у <
1/2.
По теореме о почленном умножении неравенств имеем:
ПРИМЕР:
Известно,
что
3 < х < 4
и
12 < у <
13.
Какие
значения может приобретать выражение:
1. х + у
2. у – х
3. ху
4. х/у
Задания к уроку 3
ДРУГИЕ УРОКИ
- Урок 1. Числовые неравенства
- Урок 2. Свойства числовых неравенств
- Урок 4. Числовые промежутки
- Урок 5. Линейные неравенства
- Урок 6. Системы линейных неравенств
- Урок 7. Нелинейные неравенства
- Урок 8. Системы нелинейных неравенств
- Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
- Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
- Урок 11. Неравенства с модулем
- Урок 12. Иррациональные неравенства
- Урок 13. Неравенства с двумя переменными
- Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
- Урок 15. Приближённые вычисления
- Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность
Комментариев нет:
Отправить комментарий