Урок 11. Цилиндр

ВИДЕОУРОК

Цилиндрическою поверхностью называется поверхность, полученная движением прямой линии  АВ, сохраняющей одно и то же направление и пересекающей данную линию  СD.

Пряма  АВ  называется образующей, а линия  СD – направляющей.

Если в качестве направляющей цилиндрической поверхности взять окружность, плоскость которой перпендикулярна к образующей, то такая поверхность называется круговой цилиндрической.

Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие.

Часть цилиндрической поверхности, которая лежит между параллельными плоскостями, называется боковой поверхностью цилиндра, а части плоскостей, отсекаемые этой поверхностью, – основаниями цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований называется высотой цилиндра.

Прямой круговой цилиндр.

Прямым круговым цилиндром называется тело, ограниченное круговой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными к образующей.

В элементарной геометрии обыкновенно рассматривают только прямой круговой цилиндр, который в дальнейшем будем называть просто цилиндром.

Основаниями прямого кругового цилиндра являются круги радиуса  R, а высота равна образующей цилиндра:

Н = АВ = ОО₁.

Цилиндр можно также получить вращением прямоугольника  АОО₁В  вокруг одной из его сторон.

Сторона прямоугольника  ОО₁, вокруг которого происходит вращение, называется осью цилиндра, а перпендикулярная ей сторона  

ОА = R – радиусом цилиндра.

Радиус цилиндра равен радиусу его оснований.

Боковая и полная поверхность цилиндра.

В качестве боковой поверхности цилиндра принимают границу, к которой приближается боковая поверхность вписанной в этот цилиндр (или описанной вокруг него) правильной призмы, когда число боковых граней этой призмы неограниченно увеличивается, а длина основания каждой из её граней стремится к нулю.

Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра:

S_бок = 2πRH,

где  R – радиус основания цилиндра, а  H – его высота.

Полная поверхность цилиндра равна сумме боковой поверхности и площадей его оснований:

S_полн = 2πR(H + R).

Боковая  поверхность цилиндра – равна произведению высоты тела на длину окружности, радиус которой будет перпендикуляром, опущенным до образующей из её середины до пересечения с осью.

Боковая поверхность цилиндра равна

S_бок = 2π × ОА × О₁О₂.

Развёртка цилиндра.

Если поверхность цилиндра разрезать по образующей и окружностям оснований и развернуть её так, чтобы боковая поверхность вместе с основаниями лежала в одной плоскости, то на этой плоскости получим фигуру, которая называется развёрткой цилиндра.

Развёртка цилиндра состоит из прямоугольника  АВСD, стороны которого   

АВ = Н  и  СВ = 2πR, 

и двух кругов (основания цилиндра)  О  и  О₁.

ЗАДАЧА:

Высота цилиндра  6 дм, радиус основания – 5 дм. Концы данного отрезка лежат на окружностях обоих оснований; длина его равна  10 дм. Найти его кратчайшее расстояние от оси.

РЕШЕНИЕ:

В данном цилиндре  

АМ = 6 дм, АО = 5 дм  

и  отрезок  МN = 10 дм.

Найти расстояние между отрезком  МN  и осью цилиндра  ОО₁.

МN  и  ОО₁ – скрещивающиеся прямые. Проведем плоскость  МАN  через прямую  МN  параллельно оси  ОО₁, тогда расстояние от любой точки оси  ОО₁  до проведённой плоскости будет искомым. Из прямоугольного  ⊿МАN   находим:

Из прямоугольного  ⊿ABO

В таком случае  

CD = BO = 3 дм.

ОТВЕТ:  3 дм.

ЗАДАЧА:

В цилиндре площадь основания равна  Q, а площадь осевого сечения  S. Найдите полную поверхность цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

В цилиндре  S_осн = Q  и  S_АВСD = S.

Найти  S_полн  цилиндра.

Обозначим  AO = R  и  AD = H, тогда

S_полн = 2πR(H + R).

По условию задачи

2RH = S,  
πR² = Q,

откуда

Тогда

ОТВЕТ:  πS + 2Q.

ЗАДАЧА:

Боковая поверхность цилиндра вдвое больше суммы площадей его оснований. Найти угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания цилиндра.

РЕШЕНИЕ:

По условию задачи  

S_бок = 4S_осн.

Найти  ∠ AСD = α.

Известно, что  

S_бок = 2πRH, а 

S_осн = πR², тогда

2πRH  = 4πR²

и, отсюда,

H  = 2R,

То есть прямоугольный  ⊿ADC – равнобедренный,

AD = DC = 2R.

Искомый угол  α = 45°.

ОТВЕТ:  45°.

Решение стереометрических задач с помощью тригонометрии.

ЗАДАЧА:

В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, пересекающая нижнее основание цилиндра по хорде, видной из центра этого основания под углом  α. Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости основания под углом  β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна  S.

РЕШЕНИЕ:

Пусть цилиндр с осью  ОО₁  пересечен плоскостью  АВС, параллельной оси.

В сечении получается прямоугольник  АВСD. Эта плоскость пересекает нижнее основание цилиндра по хорде  АВ. Тогда  ∠ AОВ = α. АВ  представляет собой проекцию диагонали  АС  прямоугольника на плоскость основания. Поэтому  β – угол наклона диагонали  АС  к плоскости основания. Поэтому ∠ САВ – угол наклона диагонали  АС  к плоскости основания. По условию, ∠ САВ = β.
Получим  πR² = S. Отсюда 

∠ АОВ – центральный угол, а любой вписанный в этот круг угол, опирающийся на дугу  АВ, равен  ^𝛼/₂. Тогда по следствию из теоремы синусов 

Из  ∆ CAB (∠ В = 90°):

ОТВЕТ:  4S sin ^𝛼/₂ tg β

ЗАДАЧА:

В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, пересекающая нижнее основание цилиндра по хорде, видной из центра этого основания под углом  α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь образовавшегося сечения равна  S.

РЕШЕНИЕ:

Заданный цилиндр с осью  ОО₁, пересечен плоскостью  АВС, параллельной оси. В сечении образуется прямоугольник  АВСD, площадь которого равна  S. Эта плоскость пересекает нижнее основание цилиндра по хорде  АВ. Тогда  ∠ АОВ = α. Проведем  ОК ⊥ АВ. Тогда

АВ = 2АК = 2АО sin ^𝛼/₂ = 2R sin ^𝛼/₂. 

Тоді

ОТВЕТ:

Задания к уроку 11

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
• Урок 2. Прямая призма
• Урок 3. Наклонная призма
• Урок 4. Правильная призма
• Урок 5. Параллелепипед
• Урок 6. Прямругольный параллелепипед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Пирамида
• Урок 9. Правильная пирамида
• Урок 10. Усечённая пирамида
• Урок 12. Вписанная и описанная призмы
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Усечённый конус
• Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
• Урок 16. Сфера и шар
• Урок 17. Комбинация тел

Завдання 2. Зрізана піраміда

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

ЗРІЗАНА ПІРАМІДА

або

ВІДЕОУРОК

 1. Сторони основи правильної зрізаної трикутної піраміди дорівнюють  2 см  і  5 см, бічне ребро – 2 см. Знайти висоту піраміди.

 

 а)  1 см;      
 б)  4 см;     

 в)  2 см;      
 г)  3 см.

 2. У чотирикутній зрізаної  піраміди сторони однієї основи дорівнюють  6, 7, 8, 9 см, а менша сторона другої основи дорівнює  5 см. Знайдіть решту сторін цієї основи.

 3. Висота правильної чотирикутній зрізаної  піраміди дорівнює  7 см. Сторони основ дорівнюють  10 см  і  2 см. Знайдіть бічне ребро піраміди.

 а)  7 см;        
 б)  6 см;     

 в)  13 см;      
 г)  9 см.

 4. Сторони основ правильної трикутної зрізаної  піраміди  

4 дм  і  1 дм. 

Бічне ребро  2 дм. Знайдіть висоту піраміди.

 а)  2 дм;      
 б)  1 дм;     

 в)  4 дм;      
 г)  3 дм.

 5. У правильної чотирикутній зрізаної  піраміди висота дорівнює  2 см, а сторони основи  3 см  і  5 см. Знайдіть діагональ цієї піраміди.

 а)  5 см;      
 б)  4 см;     

 в)  9 см;      
 г)  6 см.

 6. Сторони основ зрізаної правильної трикутної піраміди  2 см  і  6 см. Бічна грань утворює з більшою основою кут  60º. Знайдіть висоту.

 а)  2 см;      
 б)  1 см;     

 в)  4 см;      
 г)  3 см.

 7. У правильній зрізаній трикутній піраміді сторона більшої основи  а, сторона меншої основи  b. Бічне ребро утворює з основою кут  45°. Знайдіть площу перерізу, який проходить через бічне ребро і вісь піраміди.

 а)  2(а² – b²);     

 б)  1,25(а² – b²);     

 в)  0,25(а² – b²);      

 г)  0,5(а² – b²).

 8. Висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнює  4 см. Сторони основ дорівнюють  2 см  і  8 см. Знайдіть площі діагональних перерізів.

 а)  20√͞͞͞͞͞2 см²;     

 б)  24√͞͞͞͞͞2 см²;     

 в)  18√͞͞͞͞͞2 см²;     

 г)  22√͞͞͞͞͞2 см².

 9. У правильній трикутній зрізаній піраміді сторона нижньої основи  8 м, верхньої  5 м, а висота  3 м. Проведіть переріз через сторону нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи. Знайдіть площу утвореного перерізу.

 а)  20 см²;     

 б)  24 см²;     

 в)  27 см²;     

 г)  26 см².

10. У правильній чотирикутній зрізаній піраміді сторони основ  8 м  і  2 м. Висота дорівнює  4 м. Знайдіть повну поверхню.

 а)  168 м²;     

 б)  162 м²;     

 в)  172 м²;     

 г)  160 м².

11. Знайдіть повну поверхню правильної зрізаної трикутної піраміди, якщо висота  h, а сторони основ  а  і  b.

12. Сторони основ правильної зрізаної трикутної піраміди  12  і  4 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди, якщо її висота дорівнює  √͞͞͞͞͞3 см.

 а)  42√͞͞͞͞͞3 см²;     

 б)  44√͞͞͞͞͞3 см²;     

 в)  36√͞͞͞͞͞3 см²;     

 г)  40√͞͞͞͞͞3 см².

Завдання до уроку 10

• Завдання 1
• Завдання 3