ВИДЕО УРОК
Властивість антирефлексивності.
Ця властивість говорить про те, що будь-яке
число а з нерівності
а < а и а ˃ а вважається невірним.
Відомо, що для будь-кого а має місце бути рівність:
а
– а = 0,
звідси отримуємо, що
а = а.
Значить
а
< а и а
˃ а невірно.
ПРИКЛАД:
3 < 3,
–414/15 ˃
–414/15
є невірними.
Властивість
ассиметричности.
Використовуючи визначення стосунків
<<більше>>, <<менше>> обґрунтуємо, що, якщо, а < b, то b > а. Оскільки в
першій частині маємо, що а < b,
тоді а
– b є негативним числом. А
b
– а = –(а – b)
позитивне число, тому як число протилежно
негативному числу а – b. Звідси витікає, що b
> а. Аналогічним чином доводиться і то що, якщо,
а > b, то
b < а.
ПРИКЛАД:
При
заданій нерівності
5 < 11
маємо, що
11 ˃ 5, означає і числова нерівність
–0,27 ˃ –1,3
можна
записати у виді
–1,3 < –0,27.
З
нерівностей
–1 < 5
і 5 < 8,
витікає,
що –1
< 8.
Аналогічним
чином з нерівностей
1/2 ˃ 1/8 и 1/8
˃ 1/32
витікає,
що 1/2
˃ 1/32.
Нерівності, що мають в записі знаки
≤ і ≥,
мають наступні властивості:
– рефлексивності:
а
≤ а
і а
≥ а
вважаються вірними нерівностями;
– антисиметричності:
коли а
≤ b, тоді b ≥ а, і
якщо а
≥ b, тоді b ≤ а;
– транзитивності:
колі а
≤ b, і b ≤ с, тоді а ≤ с,
а також якщо а
≥ b, і b ≥ с, то тоді а ≥ с.
Якщо з однієї частини
вірної нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то вийде
нерівність, рівносильна цій вірній нерівності.
ПРИКЛАД:
Згідно
з цією властивістю наступні нерівності рівносильні.
х2 + 5х <
6,
Якщо а < b, то а + с < b + с, або
Якщо до обох частин вірної нерівності додати одно і те ж число, то вийде вірна нерівність.
Якщо до обох частин вірної числової нерівності 7
˃ 3 додати число
15, то вийде вірна
числова нерівність
7 + 15 ˃ 3 + 15,
що рівносильна нерівності
22 ˃ 18.
ПРИКЛАД:
Відомо, що
32 < а
< 54.
Оцінити число
3а – 12.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Оцінимо спочатку число 3а. Оскільки 3
˃ 0, то
3 ∙
32 < 3а < 3 ∙ 54,
96 < 3а
< 162.
Далі віднімемо від кожної частини нерівності число 12:
96 – 12 < 3а
– 12 < 162 – 12
або
84 < 3а
– 12 < 150.
ВІДПОВІДЬ:
84 < 3а
– 12 < 150.
Якщо обидві частини нерівності
помножити або розділити на одно і те ж позитивне число, то вийде нерівність з
тим же знаком, що і попереднє.
Або
Якщо обидві частини нерівності з
однією змінною помножити або розділити на одно і те ж вираження, що набуває при
усіх значеннях змінної позитивних значень, то вийде нерівність рівносильне цій
нерівності.
Якщо а > b, с < 0, то
ас < bс, а : с < b : с.
Якщо а < b, с < 0, то
ас > bс, а : с > b : с.
Коли обидві частини
нерівності помножити або розділити на одно і те ж число з, отримаємо вірну нерівність. Якщо узяти
число з
негативним, то знак поміняється на протилежний. Інакше це виглядає так:
для а і
b нерівність виконується, коли а,
b
і с є
позитивними числами, то
ac < bc,
а якщо с буде
негативним числом, тоді
Якщо
обидві частини вірної числової нерівності
4 < 6
помножити
на позитивне число 0,5, то отримаємо наступну числову
нерівність
4 ∙
0,5 < 6 ∙
0,5,
звідки
2 < 3.
ПРИКЛАД:
Нерівності
3х2 + 6х <
9,
х2 + 2х <
3
рівносильні,
оскільки обидві частини нерівності
3х2 + 6х < 9
Якщо обидві частини
нерівності помножити або розділити на одно і те ж негативне число, то вийде
нерівність з протилежним знаком, чим у попереднього.
Або.
Якщо обидві частини
нерівності з однією змінною помножити або розділити на одно і те ж вираження,
що набуває при усіх значеннях змінної негативних значень, змінивши при цьому
знак нерівності на протилежний, то вийде нерівність рівносильне цій нерівності.
Якщо а > b, с <
0, то
ас < bс, а : с < b : с.
Якщо а < b, с <
0, то
ас > bс, а : с > b : с.
При зміні знаку частин числової нерівності міняється
сам знак нерівності на протилежний:
a < b, –a
˃ –b.
це відповідає правилу множення обох частин на –1.
ПРИКЛАД:
–6
< –2, то 6 ˃ 2.
Розділимо обидві частини нерівності a < b позитивне число ab:
Скоротивши дроби, отримаємо, що
тобто
5 ˃ 2/3, 1/5 < 2/3.
При негативних
a і b при умові, що
a
< b, нерівність
1/a ˃ 1/b
може вийти невірним.
ПРИКЛАД:
–2
< 3, проте
–1/2 ˃ 1/3,
є невірною нерівністю.
ПРИКЛАД:
Нерівності
–6х < 12,
х
˃ –2
рівносильні,
оскільки обидві частини нерівності
–6х < 12
розділили
на негативне число –6, змінивши при цьому знак <
початкової нерівності на знак ˃.
ПРИКЛАД:
Якщо
обидві частини вірної числової нерівності
–8 ≤ 12
розділити
на негативне число –4, і змінити знак нерівності ≤
на протилежний ≥,
те вийде вірна числова нерівність:
(–8) :
(–4) ≥ 12 : (–4),
Звідки
ПРИКЛАД:
Відомо,
що
3,7 < a < 6,8,
2,5 < b < 8,3.
Оцінити
різницю
2a – 5b.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Спочатку
оцінимо числа 2a і –5b:
3,7 ∙ 2 < 2a
< 6,8 ∙ 2,
7,4 < 2a < 13,6,
і
2,5 ∙ (–5) ˃ –5b
˃ 8,3 ∙ (–5),
–41,5 < –5b < –12,5.
Тепер
знайдемо суму:
2a + (–5)b
7,4 + (–41,5) < 2a
+ (–5b) <
13,6 + (–12,5),
–34,1 < 2a – 5b
< 1,1.
ВІДПОВІДЬ:
Завдання до уроку 2
- Урок 1. Числові нерівності
- Урок 3. Додавання і добуток числових нерівностей
- Урок 4. Числові проміжки
- Урок 5. Лінійні нерівності
- Урок 6. Системи лінійних нерівностей
- Урок 7. Нелінійні нерівності
- Урок 8. Системи нелінійних нерівностей
- Урок 9. Дробово-раціональні нерівності
- Урок 10. Рішення нерівностей за допомогою графіків
- Урок 11. Нерівність з модулем
- Урок 12. Ірраціональні нерівності
- Урок 13. Нерівності з двома змінними
- Урок 14. Системи нерівностей з двома змінними
- Урок 15. Наближені обчислення
- Урок 16. Абсолютна і відносна погрішність
Комментариев нет:
Отправить комментарий