ВИДЕО УРОК
Говорят, что несколько неравенств с одной
переменной образуют систему
неравенств, если ставится задача найти все общие решения
заданных неравенств.
Решением
системы неравенств с одной переменной называются значения переменной, при которых
каждое из неравенств обращается в верное числовое неравенство.
Чтобы решить систему неравенств с одной переменной, необходимо решить каждое неравенство, а затем найти их общее решение.
Неравенства, образующие систему, объединяют фигурной скобкой.
ПРИМЕР:
2х – 1 ˃ 3,
3х – 2 < 11
образуют систему.
Иногда используют запись в виде двойного неравенства.
ПРИМЕР:
1 < 2х + 1
< 5.
ПРИМЕР:
Первое неравенство системы
преобразуется в равносильное ему неравенство
х ˃ –3/2,
а второе – в неравенство
х < 5/4.
(–3/2; 5/4)
ПРИМЕР:
Решить систему неравенств:
Имеем:
Отсюда
Решением системы являются значения х, удовлетворяющие каждому из неравенств
х ˃ 3,5 и х < 6.
Изобразив на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству
х ˃ 3,5,
и множество чисел, удовлетворяющих неравенству
х < 6,
найдём, что оба неравенства верны при
3,5 < х < 6.
Множество решений системы есть промежуток
(3,5; 6).
Ответ можно записать в виде промежутка
(3,5; 6)
или в виде двойного неравенства
3,5 < х < 6,
задающего этот промежуток.
ПРИМЕР:
Решить систему неравенств:
Имеем:
Отсюда
Изобразим на координатной прямой множества решений каждого из неравенств.
Оба неравенства верны при
х ˃ 9.
Ответ можно записать в виде неравенства
х ˃ 9
или в виде числового промежутка
(9; +∞),
задаваемого этим неравенством.
ПРИМЕР:
Решить систему неравенств:
Имеем:
Отсюда
Используя координатную прямую, найдём общие решения неравенств
х < 2 и х < 5,
т. е. пересечение множеств их решений.
Пересечение этих множеств состоит из чисел, удовлетворяющих условию
х < 2,
т. е. представляет собой числовой промежуток
(–∞; 2).
ПРИМЕР:
Решить систему неравенств:
Имеем:
Отсюда
Используя координатную прямую,
найдём, что множество чисел, удовлетворяющих неравенству
х < –2,
и множество чисел, удовлетворяющих неравенству
х ˃ 3,
Не имеют общих элементов, т. е. их пересечение пусто. Данная система не имеет решений.
ЗАДАЧА:
Турист вышел с турбазы по направлению к станции, расположенной на расстоянии 20 км. Если турист увеличит скорость на 1 км/час, то за 4 час он пройдёт расстояние больше 20 км. Если он уменьшит скорость на 1 км/час, то даже за 5 час не успеет дойти до станции. Какова скорость туриста ?
РЕШЕНИЕ:
Пусть скорость туриста равна х км/час. Если турист будет идти со скоростью
(х + 1) км/час,
то за 4 час он пройдёт
4(х + 1) км.
По условию задачи
4(х + 1) ˃ 20.
Если турист будет идти со скоростью
(х – 1) км/час,
то за 5 час он пройдёт
5(х – 1) км.
По условию задачи
5(х – 1) < 20.
Требуется найти те значения х, при которых верно как неравенство
4(х + 1) ˃ 20,
так и неравенство
5(х – 1) < 20,
т. е. найти общие решения этих неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему неравенств, и используют запись
Заменив каждое неравенство системы равносильным ему неравенством, получим систему
Значит, значение х должно удовлетворять условию
4 < х < 5.
ОТВЕТ:
Скорость туриста больше 4 км/час, но меньше 5 км/час.
ПРИМЕР:
Решить двойное неравенство:
–1 < 3 + 2х < 3.
Двойное неравенство представляет собой иную запись системы неравенств:
Решив её, найдём, что оба неравенства верны при
–2 < х < 0.
В этом примере запись удобно
вести так:
–1 < 3 + 2х
< 3,
–4 < 2х <
0,
–2 < х
< 0.Задания к уроку 6
ДРУГИЕ УРОКИ
- Урок 1. Числовые неравенства
- Урок 2. Свойства числовых неравенств
- Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
- Урок 4. Числовые промежутки
- Урок 5. Линейные неравенства
- Урок 7. Нелинейные неравенства
- Урок 8. Системы нелинейных неравенств
- Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
- Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
- Урок 11. Неравенства с модулем
- Урок 12. Иррациональные неравенства
- Урок 13. Неравенства с двумя переменными
- Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
- Урок 15. Приближённые вычисления
- Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность
Комментариев нет:
Отправить комментарий