пятница, 20 сентября 2019 г.

Урок 3. Додавання і добуток числових нерівностей

ВИДЕО УРОК
Якщо  а > b, с > d, то

а + с > b + d;  
а – с > b – d.

Якщо  а < b, с < d, то

а + с < b + d;  
а – с < b – d.

Ця властивість формулюється таким чином:

Можна почленно складати числа частин нерівності.

Додамо до обох частин нерівності  а < b  число  с, отримаємо

а + с < b + с.

Додамо до обох частин нерівності  с < d  число  b, отримаємо

b + с < b + d.

З нерівностей

а + с < b + с.

і

b + с < b + d

витікає, що

а + с < b + d.

Якщо скласти почленно вірні нерівності зі знаком в один бік, то вийде вірна нерівність.

З однієї нерівності можна почленно віднімати іншу нерівність зі знаком в протилежну сторону, залишаючи знак першої нерівності.

Якщо  а > b, с < d, то 

а – с > b – d.

Якщо  а < b, с > d, то 

а – с < b – d.

ПРИКЛАД:

Складіть почленно нерівності:

5 ˃ 4  и  –1 ˃ –2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(5 + (–1)) ˃ (4 + (–2)),

4 ˃ 2.

ПРИКЛАД:

Складіть почленно нерівності:

5 ˃ 4  и  –2 < –1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У разі, якщо знаки у нерівності не однакові, складати їх почленно не можна. Спочатку потрібно поміняти місцями ліву і праву частину однієї з нерівностей, що автоматично спричинить зміну знаку нерівності на протилежний. Дійсно, якщо

5 ˃ 4, то  4 < 5.

5 ˃ 4,  –2 < –1.

4 < 5,  –2 < –1,

(4 – 2) ˃ (5 – 1),

2 < 4.

Або, щоб змінити знак нерівності на протилежний, обидві його частини можна помножити на негативне число, наприклад, на  (1).

5 ˃ 4,  (–2)(–1) < (–1) (–1).

5 ˃ 4,  2 ˃ 1.

(5 + 2) ˃ (4 + 1).

7 ˃ 5.

Якщо перемножити почленно вірні нерівності одного знаку, ліві і праві частини яких – позитивні числа, то вийде вірна нерівність.

Якщо  а < b, с > d, де 
а, b, с  і  d – позитивні числа, то 
ас < bd.

Почленне множення обох частин дає в результаті позитивне число.

Помножимо обидві частини нерівності  а < b  на позитивне число  с, отримаємо

ас < bс.

Помножимо обидві частини нерівності  с < d  на позитивне число  b, отримаємо

bс < bd.

 З нерівностей

ас < bс  і  bс < bd

витікає, що

ас < bd.

Ці міркування справедливі і для почленного множення більш ніж двох нерівностей вказаного типу.
Якщо в нерівностях

ас < bс  і  bс < bd

серед чисел

ас < bс  і  bс < bd

є негативні, та нерівність

ас < bd

може виявитися невірним.

ПРИКЛАД:

Перемножимо почленно вірні нерівності

–3 < –2  і  –5 < 6,

отримаємо нерівність

15 < –12,

яке не є вірним.

ПРИКЛАД:

Перемножимо почленно вірні нерівності

2 ˃ 1  и  3 ˃ 2,

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

2 × 3 ˃ 1 × 2,

6 ˃ 2.

ПРИКЛАД:

Перемножимо почленно вірні нерівності

2 ˃ 1  и  3 ˃ (–2),

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перемножувати такі нерівності не можна, оскільки права частина другої нерівності негативна.

ПРИКЛАД:

Нерівності

–5 < –4,

1 < 3

є вірними, а почленне їх множення дасть наступний результат в наступному виді:

1 (–5) < 3 (–4),

–5 < –12.

Це є невірною нерівністю.

Якщо числа  а  і  b  позитивні і  а < b,
то  an < bn   (n – натуральне число).

Перемножимо почленно  n  вірних нерівностей  а < b, в яких   а  і  b – позитивні числа, отримаємо вірну нерівність

an < bn.

ПРИКЛАД:

Відомо, що 

15 < х < 16  і  2 < у < 3.

Вимагається оцінити суму 

х + у,

різницю

х у,

добуток

ху  

частку

х/у.

1. Оцінимо суму  

х + у.

Застосувавши теорему про почленне складання нерівностей до нерівностей 

15 < х  і   2 < у,

а потім до нерівностей 

х < 16  і   у < 3,

отримаємо

17 < х + у  і  
х + у < 19.

Результат можна записати у вигляді подвійної нерівності

17 < х + у < 19.

Запис зазвичай ведуть коротше:
2. Оцінимо різницю  

х – у.

Для цього представимо різницю 

х – у 

у вигляді суми 

х + (– у).

Спочатку оцінимо вираження  –у. Оскільки 

2  <  у  <  3, то 
–2 >у > –3, т. е
–3  <  –у  <  –2.


Застосуємо тепер теорему про почленне складання нерівностей:
3. Оцінимо добуток  

ху.

Оскільки кожне з чисел  х  і  у  ув'язнено між позитивними числами, то вони також є позитивними числами. Застосувавши теорему про почленне множення нерівностей, отримаємо:
4. Оцінимо частку  

х/у.  

Для цього представимо частку  х/у  у вигляді добутку

х × 1/у

Спочатку оцінимо вираження  1/у. Оскільки    

2  <  у  <  3, то
1/2 >  1/у > 1/3т. е.
1/3 <  1/у < 1/2.                                        

По теоремі про почленне множення нерівностей маємо:
ПРИКЛАД:

Відомо, що 

3 < х < і  12  < у <  13.

Яких значень може набувати вираз:

1.  х + у
2.  у – х
3.  ху
4.  х/у

Завдання до уроку 3
Інші уроки:

    Комментариев нет:

    Отправить комментарий