ВИДЕО УРОК
Якщо а > b, с > d,
то
а + с > b + d;
а – с > b – d.
Якщо а < b, с < d,
то
а + с < b + d;
а – с < b – d.
Ця властивість
формулюється таким чином:
Можна почленно складати
числа частин нерівності.
Додамо до обох частин нерівності а
< b число с, отримаємо
а
+ с < b + с.
Додамо до обох частин нерівності с
< d число b,
отримаємо
b
+ с < b + d.
З нерівностей
а
+ с < b + с.
і
b
+ с < b + d
витікає, що
а
+ с < b + d.
Якщо скласти почленно
вірні нерівності зі знаком в один бік, то вийде вірна нерівність.
З однієї нерівності
можна почленно віднімати іншу нерівність зі знаком в протилежну сторону,
залишаючи знак першої нерівності.
Якщо а > b, с < d, то
а – с > b – d.
Якщо а < b, с > d, то
а – с < b – d.
ПРИКЛАД:
Складіть
почленно нерівності:
5 ˃ 4 и –1
˃ –2.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
(5 + (–1)) ˃ (4 +
(–2)),
4 ˃ 2.
ПРИКЛАД:
Складіть
почленно нерівності:
5 ˃ 4 и –2
< –1.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
У разі, якщо знаки у нерівності не однакові,
складати їх почленно не можна. Спочатку потрібно поміняти місцями ліву і праву
частину однієї з нерівностей, що автоматично спричинить зміну знаку нерівності
на протилежний. Дійсно, якщо
5 ˃ 4, то 4
< 5.
5 ˃ 4, –2 < –1.
4 < 5, –2 < –1,
(4 – 2) ˃ (5 – 1),
2 < 4.
Або,
щоб змінити знак нерівності на протилежний, обидві його частини можна помножити
на негативне число, наприклад, на (–1).
5 ˃ 4, (–2)(–1)
< (–1) (–1).
5 ˃ 4, 2
˃ 1.
(5 + 2) ˃ (4 + 1).
7 ˃ 5.
Якщо перемножити
почленно вірні нерівності одного знаку, ліві і праві частини яких – позитивні
числа, то вийде вірна нерівність.
Якщо а < b, с > d, де
а, b, с і d – позитивні числа, то
ас < bd.
Почленне множення обох
частин дає в результаті позитивне число.
Помножимо обидві
частини нерівності а < b на позитивне
число с, отримаємо
ас < bс.
Помножимо обидві
частини нерівності с < d на
позитивне число b,
отримаємо
bс
< bd.
З нерівностей
ас
< bс і bс < bd
витікає, що
ас
< bd.
Ці міркування
справедливі і для почленного множення більш ніж двох нерівностей вказаного
типу.
Якщо в нерівностях
ас
< bс і bс < bd
серед чисел
ас
< bс і bс < bd
є негативні, та нерівність
ас
< bd
може виявитися невірним.
ПРИКЛАД:
Перемножимо
почленно вірні нерівності
–3 < –2 і –5
< 6,
отримаємо
нерівність
15 < –12,
яке
не є вірним.
ПРИКЛАД:
Перемножимо
почленно вірні нерівності
2 ˃ 1 и 3
˃ 2,
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
2 × 3 ˃ 1 × 2,
6 ˃ 2.
ПРИКЛАД:
Перемножимо
почленно вірні нерівності
2 ˃ 1 и 3
˃ (–2),
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Перемножувати
такі нерівності не можна, оскільки права частина другої нерівності негативна.
ПРИКЛАД:
Нерівності
–5 < –4,
1 < 3
є
вірними, а почленне їх множення дасть наступний результат в наступному виді:
1 ∙ (–5) < 3 ∙
(–4),
–5 < –12.
Це є невірною нерівністю.
Якщо числа
а і b позитивні і а < b,
то an < bn (n – натуральне число).
Перемножимо почленно
n вірних нерівностей а
< b, в яких а і b – позитивні
числа, отримаємо вірну нерівність
an
< bn.
ПРИКЛАД:
Відомо,
що
15 < х < 16
і 2
< у < 3.
Вимагається
оцінити суму
х + у,
різницю
х – у,
добуток
ху
частку
х/у.
1. Оцінимо
суму
х + у.
Застосувавши
теорему про почленне складання нерівностей до нерівностей
15 < х і 2
< у,
а
потім до нерівностей
х < 16 і у < 3,
отримаємо
17 < х + у і
х + у
< 19.
Результат
можна записати у вигляді подвійної нерівності
17 < х + у < 19.
Запис зазвичай ведуть коротше:
2. Оцінимо
різницю
х – у.
Для
цього представимо різницю
х – у
у
вигляді суми
х + (– у).
Спочатку
оцінимо вираження –у. Оскільки
2 < у
< 3,
то
–2 > –у > –3, т. е.
–3 < –у
< –2.
Застосуємо тепер теорему про почленне складання
нерівностей:
3. Оцінимо добуток
ху.
Оскільки кожне з чисел х і у ув'язнено між позитивними числами, то вони
також є позитивними числами. Застосувавши теорему про почленне множення
нерівностей, отримаємо:
4. Оцінимо
частку
х/у.
Для
цього представимо частку х/у у вигляді добутку
х × 1/у.
Спочатку
оцінимо вираження 1/у.
Оскільки
2 < у
< 3,
то
1/2
> 1/у
> 1/3, т. е.
1/3
< 1/у
< 1/2.
По теоремі про почленне множення нерівностей
маємо:
ПРИКЛАД:
Відомо,
що
3 < х < 4 і 12 < у <
13.
Яких
значень може набувати вираз:
1. х + у
2. у – х
3. ху
4. х/у
Завдання до уроку 3
Комментариев нет:
Отправить комментарий