Урок 8. Системі нелінійних нерівностей

понедельник, 30 сентября 2019 г.

Урок 8. Системі нелінійних нерівностей

ВИДЕО УРОК

Декілька нерівностей з однією змінною можуть утворити систему.

Рішенням системи нерівностей з однією змінною називаються значення змінної, при яких кожна з нерівностей звертається у вірну числову нерівність.

Отже, щоб вирішити систему нерівностей з однією змінною, необхідно вирішити кожну нерівність, а потім знайти їх загальне рішення.

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вирішимо першу нерівність

х² ≤ 9,

х² – 9 ≤ 0,

(х – 3)(х + 3) ≤ 0.

Його рішення

–3 ≤ х ≤ 3.

Вирішуємо другу нерівність

х ˃ 0.

Його рішення очевидне. Зображуватимемо на числовій прямій безліч чисел, що задовольняють першому і другому нерівностям,

Звідки витікає, що обидві нерівності вірні при

0 < х ≤ 3.

ВІДПОВІДЬ:

х ∈ (0; 3]

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вирішуємо методом інтервалів першу нерівність.

Точки 3 и –1 <<виколоті>>, оскільки знаменник містить множники

(х – 3) і (х + 1),

які не можуть дорівнювати 0.

Перша нерівність має рішення

х < –1 и х ˃ 3.

Вирішуємо методом інтервалів другу нерівність, його рішення

–4 ≤ х < 4.

Знайдемо перетин цих великих кількостей.

ВІДПОВІДЬ:

–4 ≤ х < –1,

3 < х ≤ 4.

ПРИКЛАД:

Вирішити подвійну нерівність:

–1 < х² + х < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вирішити подвійну нерівність – це означає вирішити систему нерівностей, що відповідає йому.

В даному випадку система нерівностей виглядає так:

1) Вирішимо першу нерівність

–х² – х – 1 < 0.

Многочлен, що стоїть в лівій частині нерівності, не можна розкласти на множники, оскільки рівняння

–х² – х – 1 = 0

не має коренів

(D = –3 < 0).

Це означає, що квадратний тричлен

(–х² – х – 1)

при усіх значеннях х має постійний знак, а саме негативний (по знаку першого коефіцієнта). Таким чином, рішення цієї квадратної нерівності є

х ∈ (–∞; +∞).

2) Вирішимо другу нерівність

х² + х < 0,

х(х + 1)< 0.

х ∈ (–1; 0).

3) Знайдемо перетин отриманих великих кількостей

ВІДПОВІДЬ: (–1; 0)

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ця система рівносильна наступною:

Безліч Е₁ рішень першої нерівності цієї системи складається з точок числової прямої, що лежать поза відрізком

[–2, 0],

тобто Е₁– об'єднання проміжків

(–∞, –2) і (0, +∞).

Безліч Е₂ рішень другої нерівності - інтервал довжини 8 з центром в точці 1, тобто

Е₂ = (–3, 5).

Безліч Е рішень початкової системи - загальна частина (перетин) безлічі Е₁ і Е₂.

Отже, безліч Е – об'єднання інтервалів

(–3, –2) і (0, 5)

ВІДПОВІДЬ:

–3 < х < –2, 0 < х < 5

ПРИКЛАД:

Вирішити нерівність:

(2х – 1)(|х + 1| – |х – 3|) < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ця нерівність рівносильно сукупності двох систем нерівностей:

Безліч Е₁ рішень першої системи – перетин проміжків

х ˃ ¹/₂ и х < 1, тобто Е₁ = (¹/₂, 1).

Безліч Е₂ рішень другої системи – перетин проміжків

х < ¹/₂ і х ˃ 1,

загальних точок, що не мають. Тому друга система рішень не має.

ВІДПОВІДЬ: ¹/₂ < х < 1

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ця система рівносильна системі
Рішенням першої нерівності цієї системи є усі числа великої кількості

(–∞; ¹/₇),

а другого – усі числа великої кількості

[–¹/₂; 1].

Перетином цих великих кількостей є множина

[–¹/₂; ¹/₇).
Отже, рішення початкової системи є усі числа з проміжку

[–¹/₂; ¹/₇).

ВІДПОВІДЬ: [–¹/₂; ¹/₇)

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ця система рівносильна системі

Рішенням другої нерівності цієї системи є усі числа великої кількості

[–¹/₂; ³/₂].

Нерівність
рівносильне нерівності
рішенням якого є множина

[–1; 0) ∪ (0; 1].

Таким чином, рішенням початкової системи нерівностей є перетин знайдених великих кількостей
тобто множина

[–¹/₂; 0) ∪ (0; 1].

ВІДПОВІДЬ:

[–¹/₂; 0) ∪ (0; 1]

ПРИКЛАД:

Вирішити систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вирішимо кожну нерівність системи, використовуючи метод інтервалів.

Перша нерівність.

х² – х – 20 < 0.

Знайдемо корені квадратного тричлена, що стоїть в лівій частині нерівності:

х₁ = 5, х₂ = –4.

Нанесемо їх на числову вісь.

Розставимо знаки. Для цього візьмемо число, більше більшого кореня і підставимо замість х в ліву частину нерівності.

Візьмемо, наприклад число 10.

10² – 10 – 20 ˃ 0,

Отже, в найправішому проміжку ставимо <<+>>. Оскільки усі корені непарної кратності, знаки міняються під час переходу через корені.

Нас цікавлять ті значення невідомого, при яких ліва частина нерівності менше 0.

Друга нерівність.

х² – 2х – 8 < 0

Знайдемо корені квадратного тричлена, що стоїть в лівій частині нерівності:

х₁ = 4, х₂ = –2.

Нанесемо їх на числову вісь.

Візьмемо, наприклад число 10.

10² – 20 – 8 ˃ 0,

Нас цікавлять ті значення невідомого, при яких ліва частина нерівності менше 0.

Третя нерівність.

2х² + х – 45 < 0.

Знайдемо корені квадратного тричлена, що стоїть в лівій частині нерівності:

х₁ = 4,5, х₂ = –5.

Нанесемо їх на числову вісь.

Візьмемо, наприклад число 10.

10² – 20 – 8 ˃ 0,

Нас цікавлять ті значення невідомого, при яких ліва частина нерівності менше 0.

Тепер поєднаємо на одній числовій осі рішення трьох нерівностей:

Ми бачимо, що три <<стрілки>>, що зображують рішення усіх трьох нерівностей, проходить над відрізком (–2; 4) – це і є рішення нашої системи нерівностей.

ВІДПОВІДЬ:

(–2; 4)

Завдання до уроку 8

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 30 сентября 2019 г.