Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций

ВИДЕО УРОК

Области определения тригонометрических функций.

Всякая функция имеет свою собственную совокупность значений аргумента, при которых она определена, то есть существует. Эта совокупность всех допустимых значений аргумента, при которых функция определена, называется областью определения или областью существования функции.

Функции  sin α  и  соs α  определены при любом значении  α. В самом деле, любая точка  М, лежащая на единичной окружности, имеет вполне определённые координаты  х  и  у, первая из которых есть косинус угла  α, составленного с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ, а вторая – синус угла  α.

Функция  tg α  определена при всех значениях  α, за исключением случая, когда подвижной радиус перпендикулярен к оси  Ох, то есть кроме значений  α, равных

± ^π/₂, ± ^3π/₂, ± ^5π/₂, …

И вообще кроме значений  α, равных

 ^π/₂ + kπ,

где  k – любое целое число.

В самом деле, при этих (и только при этих) значениях  α  подвижной радиус лежит на оси  Оу, абсцисса  х  конца подвижного радиуса равна нулю  (х = 0)  и поэтому делить  у  на  х  нельзя.

Функция  сtg α  определена при всех значениях  α, за исключением следующих:

0, ±π, ±2π, ±3π, …

И вообще – за исключением значений  α, равных  kπ, где  k – любое целое число, так как при этих (и только при этих) значениях α  подвижной радиус лежит на оси  Ох, ордината  у  его конца равна нулю  (у = 0)  и поэтому делить  х  на  у  нельзя.

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции

f(x) = tg 2x.

РЕШЕНИЕ:

В область определения не войдут следующие точки:

2х ≠ ^π/₂ + kπ.

или

В результате получим:

х ≠ ^π/₄ + ^πk/₂, k ∈ Z.

Отразим графически.

ОТВЕТ:

Область определения функции  tg 2x  все действительные числа за исключением

х ≠ ^π/₄ + ^πk/₂, k ∈ Z.

Области значения тригонометрических функций.

Функции  sin α  и  соs α  принимают все значения между  –1  и  +1, включая и эти числа. В самом деле, синус угла  α, составленного с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ  единичной окружности, есть ордината  у  точки  М  единичной окружности, которая, как легко видеть, принимает все значения между  –1  и  +1, включая и эти числа.

Задача нахождения угла  α, имеющего данный синус  у, при условии, что число  у  заключено в пределах от  –1  до  +1, имеет бесконечное множество решений.
И действительно, построим на оси  Оу  точку  Р,

ордината которой равна  у, и через эту точку проведём прямую параллельную оси  Ох. Пусть  М₁  и  М₂ – точки, в которых эта прямая пересекает единичную окружность. Если обозначим через  α  любой угол, составленный с осью  Ох  любым из подвижных радиусов  ОМ₁  и  ОМ₂, то  sin α = у. На чертеже

отмечено несколько углов, составленных с осью  Ох  одним из подвижных радиусов  ОМ₁  и  ОМ₂.

Аналогично убеждаемся в том, что  соs α  принимает все значения  от  –1  до  +1, включая и эти числа.

В самом деле, косинус угла  α, составленного с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ  единичной окружности, есть абсцисса  х  конца  М  подвижного радиуса  ОМ, а абсцисса  х  точки единичной окружности, принимает все значения от  –1  до  +1, включая и эти числа.

Так же как и для функции  sin α, для заданного числового значения косинуса

соs α = х,

при условии, что число  х  по абсолютной величине не больше единицы,

–1 ≤ х ≤  +1,

существует бесконечное множество углов, косинус которых равен  х.

И действительно, построим на оси  Ох  точку  Q, абсцисса которой равна  х, и проведя через эту точку прямую, параллельную оси  Оу. Пусть  М₁  и  М₂ – точки, в которых эта прямая пересекает единичную окружность. Если через  α  мы обозначим любой угол, составленный с осью  Ох  любым из подвижных радиусов  ОМ₁  или  ОМ₂, то  соs α = х.

На чертеже

отмечено несколько углов, составленных с осью  Ох  одним из подвижных радиусов  ОМ₁  или  ОМ₂.
На чертеже

мы взяли  0 < у < 1.
На чертеже

мы берём

–1 < х < 0.

Функция  tg α  принимает все действительные значения. В самом деле, пусть  р – любое действительное число. Докажем, что существует и притом бесконечное множество углов, тангенсы которых равны  р.

Построим на оси тангенсов точку  Р,

ордината которой равна  р. Соединим точку  Р  с началом координат и продолжим  РО  за центр до пересечения с единичной окружностью. Пусть  М₁  и  М₂ – точки, в которых прямая  РО  пересекает окружность. Тогда, если  α – угол, составленный с осью  Ох  любым из подвижных радиусов  ОМ₁  или  ОМ₂, то

tg α = р.

На чертеже

мы считали, что  р ˃ 0. На этом же чертеже отмечено несколько углов, составленных с осью  Ох  радиусами  ОМ₁  или  ОМ₂. Тангенсы всех этих углов равны  р.

Наконец, функция  сtg α, как и  tg α, принимает все действительные значения.

В самом деле, пусть  q – любое число. Построим на оси котангенсов точку  Q, абсцисса которой равна  q, соединим эту точку  Q  с началом координат и продолжим  QО  за центр до пересечения с единичной окружностью.

Обозначим через  М₁  и  М₂  точки пересечения прямой  QО  с единичной окружностью. Тогда котангенс любого из углов, составленных с осью  Ох  радиусом  ОМ₁  или  ОМ₂, будет равен  q.

ПРИМЕР:

Найти область значений функции:

у = 5 – 4 sin х.

РЕШЕНИЕ:

Из определения синуса следует,

–1 ≤ sin х ≤ 1.

Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

Умножим все три части двойного неравенства на  –4.

–4 ≤ –4 sin х ≤ 4.

Прибавим к трём частям двойного неравенства  5.

1 ≤ 5 – 4 sin х ≤ 9.

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество её значений заключено между наименьшим и наибольшим её значением на всей области определения, если таковые существуют. В данном случае множество значений функции

у = 5 – 4 sin х

есть множество  [1; 9].

ОТВЕТ:  [1; 9]

ПРИМЕР:

Найти область определения и область значений функции:

y = tg x.

РЕШЕНИЕ:

Функция  y = tg x  определяется формулой

Эта функция определена при значениях х, для которых  соs х ≠ 0.

Известно, что  соs х = 0  при

х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z.

Следовательно, областью определения функции  y = tg x  является множество чисел кроме

х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z.

Так как уравнение  tg x = а  имеет корни при любом действительном значении  а, то множеством значений функции  y = tg x  является множество  R  всех действительных чисел.

ПРИМЕР:

Найти область определения функции:

y = sin 3х + tg 2x.

РЕШЕНИЕ:

Нужно выяснить, при каких значениях  х  выражение

y = sin х + tg 2x

имеет смысл. Выражение  sin 3х  имеет смысл при любом значении  х, а выражение  tg 2x – при всех значениях  х  кроме

2х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z  или

х = ^π/₄ + ^πn/₂, n ∈ Z.

Следовательно, областью определения данной функции является множество действительных чисел, кроме

х = ^π/₄ + ^πn/₂, n ∈ Z.

ПРИМЕР:

Найти область значения тригонометрической функции:

у = 3 соs х – 2.

РЕШЕНИЕ:

Для нахождения области значения функции

у = 3 соs х – 2

используем тот факт, что функция  у = соs х  изменяет своё значение от  –1  до  1, то есть имеет место двойное неравенство:

–1 ≤ соs х ≤ 1.

Умножим все части этого неравенства на  3:

–3 ≤ 3 соs х ≤ 3.

Вычтем из всех частей полученного неравенства  2, получим:

–3 – 2 ≤ 3 соs х – 2 ≤ 3 – 2,

–5 ≤ 3 соs х – 2 ≤ 1.

Таким образом, область значений функции будет промежуток

[–5; 1].

ОТВЕТ:  [–5; 1]

ПРИМЕР:

Найти область значения тригонометрической функции:

у = 3 соs х – 4 sin х.

РЕШЕНИЕ:

Для нахождения области значения функции

у = 3 соs х – 4 sin х

воспользуемся следующей формулой:

В нашем случае  а = 3, b = –4, то есть:

Следовательно, областью значений является промежуток:

[–5; 5].

ОТВЕТ:  [–5; 5]

Задания к уроку 6

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований