Урок 11. Нулі функції і проміжки знакосталости

пятница, 29 апреля 2016 г.

Урок 11. Нулі функції і проміжки знакосталости

Значення аргументу, при яких функція перетворюється в нуль, називають нулями функції.

ПРИКЛАД:

Розглянемо функцію

y = f(x),

графік якої зображено на рисунку.

Якщо х = –1, х = 4 або х = 6, то значення функції дорівнює нулю. Такі значення аргументу х називають нулями функції.

Щоб знайти нулі функції, потрібно розв’язати рівняння. Нулі функції розбивають її область визначення на проміжки знакосталості – проміжки, на яких функція набуває значень одного знака.

ПРИКЛАД:

Нулем функції

у = х – 2

є лише одне значення х:

х – 2 = 0; х = 2.

Нулями функції

у = х – 2х

є числа 0 та 2.

ПРИКЛАД:

Розглянемо графік функції

y = f(x),

якої зображено на малюнку.

З’ясуємо при яких значеннях х функція перетворюється в нуль. Знайдемо абсциси точок перетину графіка з віссю х. Дістанемо

х = –3 і х = 7.

Отже, функція набуває значення, яке дорівнює нулю, при

х = –3 і х = 7.

Тобто числа –3 і 7 – нулі розглядуваної функції. Нулі функції розбивають її область визначення – проміжок [–5; 9] на три проміжки:

[–5; –3), (–3; 7) і (7; 9].

Для значень х з проміжку (–3; 7) точки графіка розміщені вище від осі х, а для значень х з проміжку

[–5; –3) і (7; 9]

нижче від осі х.

Отже, у проміжку (–3; 7) функція набуває додатних значень, а в кожному з проміжків

[–5; –3) і (7; 9] – від’ємних.

ПРИКЛАД:

Вказати проміжок, якому належать нулі функції:

у = х³ + 2х² – х – 2.

Щоб знайти нулі функції, потрібно розв’язати рівняння

у = х³ + 2х² – х – 2 = 0;

х² (х + 2) – (х + 2) = 0;

(х² – 1)(х + 2) = 0;

Числа –2; –1; 1 належать проміжку (–5; 3)

ПРИКЛАД:

Знайдіть нулі функції:

у = х⁴ + 8х² – 9.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х⁴ + 8х² – 9 = 0.

Нехай у = х², у ≥ 0. Тоді

у² + 8у – 9 = 0,

у₁ = –9 – не задовольняє умову задачі,

у₂ = 1, х² = 1, х = ±1.

Отже, нулі функції

х₁ = –1, х₂ = 1.

ПРИКЛАД:

Знайдіть нулі функції:

у = –4х⁴ + 5х² – 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

–4х⁴ + 5х² – 1 = 0.

Нехай t = х². Тоді

–4t² + 5t – 1 = 0,

4t² – 5t + 1 = 0.

t₁ = 1, t₂ = ¹/₄,

х² = 1, х = ±1.

х² = ¹/₄, х = ±¹/₂.

Отже, нулі функції

х₁ = –1, х₂ = 1, х₃ = –¹/₂, х₄ = ¹/₂.

ПРИКЛАД:

Знайдіть нулі функції:

у = –9х⁴ + 10х² – 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

–9х⁴ + 10х² – 1 = 0.

Нехай t = х². Тоді

–9t² + 10t – 1 = 0,

9t² – 10t + 1 = 0.

t₁ = 1, t₂ = ¹/₉,

х² = 1, х = ±1.

х² = ¹/₉, х = ±¹/₃.

Отже, нулі функції

х₁ = –1, х₂ = 1, х₃ = –¹/₃, х₄ = ¹/₃.

ПРИКЛАД:

Знайдіть нулі функції:

у = х⁴ – 8х² – 9.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х⁴ – 8х² – 9 = 0.

Нехай у = х², у ≥ 0. Тоді

у² – 8у – 9 = 0,

у₁ = –1 – не задовольняє умову задачі,

у₂ = 9, х² = 9, х = ±3.

Отже, нулі функції

х₁ = –3, х₂ = 3.

ПРИКЛАД:

Знайдіть нулі функції:

у = х⁴ – 2х² – 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х⁴ – 2х² – 3 = 0.

Нехай у = х², у ≥ 0. Тоді

у² – 2у – 3 = 0,

у₁ = –1 – не задовольняє умову задачі,

у₂ = 3, х² = 3, х = ±√͞͞͞͞͞3.

Отже, нулі функції

х₁ = –√͞͞͞͞͞3, х₂ = √͞͞͞͞͞3.

ПРИКЛАД:

Знайдіть нулі функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
2х – 6 = 0,

2х = 6, х = 3.

ПРИКЛАД:

Знайдіть нулі функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ: х = –7

ПРИКЛАД:

Знайдіть нулі функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ: х ∈ ∅

ПРИКЛАД:

Вказати проміжки, на яких функція

f(x) = –5х + 15

набуває від’ємних значень.

Функція набуває від’ємних значень на тих проміжках, де

f(x) < 0.

Розв’яжемо нерівність:

–5х + 15 < 0,

–5х < –15,

х ˃ 3,

х ∈ (3; +∞).

Завдання до уроку 11

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 29 апреля 2016 г.