Урок 13. Конус

вторник, 16 января 2018 г.

Урок 13. Конус

ВІДЕОУРОК

Конічною поверхнею називається поверхня, що утворюється при русі прямої АВ, яка переміщується в просторі так, що вона при цьому постійно проходить через нерухому точку S і перетинає дану лінію С.

Пряма АВ називається твірною, точка S – вершиною, а лінія С – напрямною конічної поверхні.

Зауважимо, що конічна поверхня, так само як її твірна, простягається у просторі нескінченно.

Конусом називається тіло, обмежене частиною конічної поверхні з замкненою напрямною і площиною Р, яка не проходить через вершину S і перетинає всі твірні конічної поверхні.

Вершина конічної поверхні називається вершиною конуса. Частина конічної поверхні, обмежена вершиною і січною площиною – бічною поверхнею конуса, а частина січної площини, що виділена конічною поверхнею, – основою конуса. Висотою конуса називається довжина перпендикуляра, опущеного з вершини конуса на площину основи.

Прямим круговим конусом називається конус, основою якого є круг CD, висота якого SO проходить через центр кола основи.

Далі прямий круговий конус будемо називати просто конусом. Конус можна одержати обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Катет SO, навколо якого відбувається обертання, називається віссю конуса, а гіпотенуза є твірною конуса. Крім того, катет ОD дорівнює радіусу основи конуса, а катет SO дорівнює його висоті:

R = ОD, Н = SO.

Переріз конуса площиною, що проходить через його вершину, представляє собою рівнобедрений трикутник, у якого бокові сторони є твірними конуса.

Зокрема рівнобедреним трикутником є осьовий переріз конуса. Це переріз, що проходить через вісь конуса.

Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по колу, а бокову поверхню – по окружності із центром на осі конуса.

Бічна і повна поверхні конуса.

За бічну поверхню конуса приймається границя, до якої наближається бічна поверхня вписаної в нього (або описаної навколо нього) піраміди при необмеженому збільшенні числа її бічних граней. При цьому довжина ребра основи правильної піраміди наближається до нуля.

Бічна поверхня конуса дорівнює добутку довжини кола основи на половину твірної L:

Повна поверхня конуса дорівнює сумі бічної поверхні і площі основи:

де R = OD – радіус основи конуса,

L = SD – твірна конуса.

Бічна поверхня конуса дорівнює добутку висоти тіла на довжину кола, радіус якого є перпендикуляром, поставленим до твірної з її середини до перетину з віссю.

Бічна поверхня конуса дорівнює

S_бічн = 2π × ОА × О₁О₂.

Розгортка конуса.

Якщо поверхню конуса розрізати по твірній і колу основи і розгорнути так, щоб бічна поверхня з основою лежала в одній площині, то на площині одержимо фігуру, яка називається розгорткою конуса.

Вона складається з сектора SADA', радіус якого дорівнює твірній конуса, а довжині кола основи конуса, і кола основи.

ЗАДАЧА:

Кут між висотою і твірною конуса 60°, висота конуса – Н. Знайти площу перерізу, проведеного через дві взаємно перпендикулярні твірні.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай кут між висотою і твірною конуса OSB = 60°, висота

SO = Н.

Нехай існують дві взаємно перпендикулярні твірні, тоді площа цього

перерізу буде знаходитись як півдобуток твірних.

ВІДПОВІДЬ: 2Н².

ЗАДАЧА:

В конусі проведено два перерізі, паралельні основі, які ділять висоту

конуса на три рівні частини. Знайти відношення їх площ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ: