Урок 4. Медиана

ПРИМЕР:

Рассмотрим выборку:

Семеро спортсменов, а так же их рост в сантиметрах.

Упорядочим данные в таблице так, чтобы рост спортсменов шёл по возрастанию. Другими словами, построим спортсменов по росту.

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 183, 184, 185, 188, 190.

В получившейся выборке  7  элементов. Посередине этой выборки располагается элемент  184. Слева и справа от него по три элемента. Такой элемент как  184  называют медианой упорядоченной выборки.

Медианой упорядоченной выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Или

Медианой выборки называют число, которое разделяет пополам упорядоченную (в порядке роста или падения признака) совокупность всех значений выборки. 

Обозначают  Ме.

ПРИМЕР:

Медианой группы значений:

5, 7, 11, 13, 19 

будет  11.

Ме = 11.

Данное определение справедливо в случае, если количество элементов упорядоченной выборки является нечётным.

В рассмотренном выше примере, количество элементов упорядоченной выборки было нечётным. Это позволило быстро указать медиану.

Средним значением (средним арифметическим) называют такое число

которое получают делением суммы всех данных выборки
на количество этих данных  n:

Отклонением  l_i  каждого значения  x_i  от среднего арифметического

называют разность между этим значением и средним арифметическим, то есть

Отклонение может быть как положительным, так и отрицательным. Но возможны случаи, когда количество элементов выборки чётно.

ПРИМЕР:

Рассмотрим выборку, в которой не семеро спортсменов, а шестеро:

Построим этих шестерых спортсменов по росту:

Выпишем рост спортсменов отдельно:

180, 182, 184, 186, 188, 190.

В данной выборке не получается указать элемент, который находился бы по середине. Если указать элемент  184  как медиану, то слева от этого элемента будут располагаться два элемента, а справа – три. Если как медиану указать элемент  186, то слева от этого элемента будут располагаться три элемента, а справа – два.

В таких случаях для определения медианы выборки, нужно взять два элемента выборки, находящихся посередине и найти их среднее арифметическое. Полученный результат будет являться медианой.

Вернёмся к спортсменам. В упорядоченной выборке

180, 182, 184, 186, 188, 190

посередине располагаются элементы

184  и  186.

Найдём среднее арифметическое элементов

184  и  186

Элемент  185  является медианой выборки, несмотря на то, что этот элемент не является членом исходной и упорядоченной выборки. Спортсмена с ростом  185 см  нет среди остальных спортсменов. Рост в  185 см  используется в данном случае для статистики, чтобы можно было сказать о том, что средний рост спортсменов составляет  185 см.

ПРИМЕР:

Медиана группы значений:

3, 4, 8, 16, 17, 19 

равна

12((8 + 16) : 2 = 12).

Ме = 12.

Более точное определение медианы зависит от количества элементов в выборке.

Если количество элементов упорядоченной выборки нечётно, то медианой выборки называют элемент, располагающийся посередине.

Если количество элементов упорядоченной выборки чётно, то медианой выборки называют среднее арифметическое двух чисел, располагающихся посередине этой выборки.

Медиана и среднее арифметическое по сути являются <<близкими родственниками>>, поскольку и то и другое используют для определения среднего значения.

ПРИМЕР:

Для упорядоченной выборки:

180, 182, 184, 186, 188, 190

медиана равна  185.

Этот же результат можно получить путём определения среднего арифметического элементов

180, 182, 184, 186, 188, 190

Но медиана в некоторых случаях отражает более реальную ситуацию.

ПРИМЕР:

Было подсчитано количество имеющихся очков у каждого спортсмена. В результате получилась следующая выборка:

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1.

Определим среднее арифметическое для данной выборки – получим значение  2,2.

По данному значению можно сказать, что в среднем у спортсменов  2,2  очка.

Теперь определим медиану для этой же выборки. Упорядочим элементы выборки и укажем элемент, находящийся посередине:

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6.

В данном примере медиана лучше отражает реальную ситуацию, поскольку половина спортсменов имеют не более одного очка.

Среднее геометрическое  m_c  для  n  положительных чисел

x₁,  x₂, … ,  x_n

определяют по формуле

Дисперсией  D  называют среднее арифметическое суммы квадратов всех отклонений случайной величины:

Среднее квадратичное отклонение  σ  равняется корню квадратному из дисперсии:

σ = √͞͞͞͞͞D.

Задания к уроку 4

• Задание 1