Урок 4. Медіана

ПРИКЛАД:

Розглянемо вибірку:

Семеро спортсменів, а так само їх зростання в сантиметрах.

Упорядкуємо дані в таблиці так, щоб зростання спортсменів йшло за збільшенням. Іншими словами, побудуємо спортсменів по зростанню.

Випишемо зростання спортсменів окремо:

180, 182, 183, 184, 185, 188, 190.

У вибірці, що вийшла, 7  елементів. Посередині цієї вибірки розташовується елемент  184. Ліворуч і праворуч від нього по три елементи. Такий елемент як  184  називають медіаною впорядкованої вибірки.

Медіаною впорядкованої вибірки називають елемент, розташований посередині.

Або

Медіаною вибірки називають число, яке поділяє навпіл упорядковану (у порядку зростання чи спадання ознаки) сукупність усіх значень вибірки. 

Позначають  Ме.

ПРИКЛАД:

Медіана групи значень:

5, 7, 11, 13, 19 

буде  11.

Ме = 11.

Це визначення справедливе у разі, якщо кількість елементів впорядкованої вибірки є непарною.

У розглянутому вище прикладі, кількість елементів впорядкованої вибірки була непарною. Це дозволило швидко вказати медіану.

Середнім значенням (середнім арифметичним) називають таке число

яке отримують діленням суми всіх даних вибірки на кількість цих даних  n:

Відхиленням  l_i  кожного значення  x_i  від середнього арифметичного

називають різницю між цим значенням і середнім арифметичним, тобто

Відхилення може бути як додатним, так і від’ємним.

Але можливі випадки, коли кількість елементів вибірки парна.

ПРИКЛАД:

Розглянемо вибірку, в якій не семеро спортсменів, а шестеро:

Побудуємо цих шестеро спортсменів по зростанню:

Випишемо зростання спортсменів окремо:

180, 182, 184, 186, 188, 190.

У цій вибірці не виходить вказати елемент, який знаходився б по середині. Якщо вказати елемент  184  як медіану, то зліва від цього елементу розташовуватимуться два елементи, а справа – три. Якщо як медіану вказати елемент  186, то зліва від цього елементу розташовуватимуться три елементи, а справа – два.

У таких випадках для визначення медіани вибірки, треба узяти два елементи вибірки, що знаходяться посередині і знайти їх середнє арифметичне. Отриманий результат буде медіаною.

Повернемося до спортсменів. У впорядкованій вибірці

180, 182, 184, 186, 188, 190

посередині розташовуються елементи

184  і  186.

Знайдемо середнє арифметичне елементів

184  і  186

Елемент  185  є медіаною вибірки, попри те, що цей елемент не є членом початкової і впорядкованої вибірки. Спортсмена із зростанням  185 см  немає серед інших спортсменів. Зростання в  185 см  використовується в даному випадку для статистики, щоб можна було сказати про те, що середній зріст спортсменів складає  185 см.

ПРИКЛАД:

Медіана групи значень:

3, 4, 8, 16, 17, 19 

дорівнює

12((8 + 16) : 2 = 12).

Ме = 12.

Точніше визначення медіани залежить від кількості елементів у вибірці.

Якщо кількість елементів впорядкованої вибірки непарно, то медіаною вибірки називають елемент, розташований посередині.

Якщо кількість елементів впорядкованої вибірки парна, то медіаною вибірки називають середнє арифметичне двох чисел, розташованих посередині цієї вибірки.

Медіана і середнє арифметичне по суті є <<близькими родичами>>, оскільки і те і інше використовує для визначення середнього значення.

ПРИКЛАД:

Для впорядкованої вибірки:

180, 182, 184, 186, 188, 190

медіана рівна  185.

Цей же результат можна отримати шляхом визначення середнього арифметичного елементів

180, 182, 184, 186, 188, 190

Але медіана в деяких випадках відбиває реальнішу ситуацію.

ПРИКЛАД:

Було підраховано кількість наявних очок у кожного спортсмена. В результаті вийшла наступна вибірка:

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1.

Визначимо середнє арифметичне для цієї вибірки – отримаємо значення  2,2

.По цьому значенню можна сказати, що в середньому у спортсменів  2,2  очка.

Тепер визначимо медіану для цієї ж вибірки. Упорядкуємо елементи вибірки і вкажемо елемент, що знаходиться посередині:

0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6.

У цьому прикладі медіана краще відбиває реальну ситуацію, оскільки половина спортсменів мають не більше за одне очко.

Середнє геометричне  m_c  для  n  додатних чисел

x₁,  x₂, … ,  x_n

Визначають за формулою

Дисперсією  D  називають середнє арифметичне суми квадратів усіх відхилень випадкової величини:

Середнє квадратичне відхилення  σ  дорівнює кореню квадратному із дисперсії:

σ = √͞͞͞͞͞D.

Завдання до уроку 4

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3