Урок 1. Действительные числа

воскресенье, 14 декабря 2014 г.

Урок 1. Действительные числа

Рациональные числа.

В курсе математики мы часто встречались с различными числами. Числа 1, 2, 3, … , которые употребляются при счёте, образуют множество натуральных чисел.

Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество целых чисел.

Кроме целых, нам известны дробные числа (положительные и отрицательные).

Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой

Множество целых чисел – буквой

Множество рациональных чисел – буквой

Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак ∈.

ПРИМЕР:

Утверждение, что число 2 является натуральным (или, что число 2 принадлежит множеству натуральных чисел), можно записать так:

2 ∈ N.

Число –2 не является натуральным; это можно записать с помощью знака ∉:

–2 ∉ N.

Всякое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби.

где m – целое число, а n – натуральное.

Одно и то же рациональное число можно представить в таком виде разными способами. Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель, равный 1. Если при делении числителя на знаменатель, в остатке мы не получаем 0, сколько бы мы не продолжали деление, то такая дробь обращается в бесконечную десятичную дробь. Если при делении числителя на знаменатель последовательно повторяются остатки одинаковых цифр, то бесконечные десятичные дроби такого вида называют периодическими. Повторяющаяся группа цифр составляет период дроби. При записи периодических десятичных дробей период пишут один раз, заключая его в круглые скобки:

Эта запись читается так:

нуль целых, двести шестнадцать в периоде.

Каждое дробное число можно представить либо в виде десятичной дроби (конечной десятичной дроби), либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей. Таким образом,

каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное утверждение:

каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.

Иррациональные числа.

Но существуют дроби, которые не являются периодическими. Такие дроби называются бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами.

ПРИМЕР:

Пусть отрезок ОК равен диагонали квадрата, стороной которого служит единичный отрезок.

Построим на диагонали единичного квадрата новый квадрат. Из рисунка видно, что площадь этого квадрата в два раза больше площади единичного квадрата. Значит, она равна 2. Так как отрезок ОК равен стороне нового квадрата, то длина отрезка ОК равна числу, квадрат которого равен 2.

При десятичном измерении отрезка ОК получится бесконечная десятичная дробь, которая не является периодической. Это объясняется тем, что среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2.

Действительные числа.

Если к положительным непериодическими бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им числа и число нуль, то получим множество чисел, которые называют действительными, или вещественными числами.

Множество действительных чисел принято обозначать буквой

Таким образом, множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Множество натуральных, целых, рациональных и действительных чисел обозначают соответственно буквами N, Z, Q, и R. Каждое из этих множеств будет подмножеством (частью) предыдущего множества. Каждое натуральное число будет одновременно и целым, и рациональным и действительным. Каждое целое число будет также рациональным и действительным.

Вообще сложение двух действительных чисел всегда возможно и однозначно.

Умножение отрицательных действительных чисел выполняют согласно с правилами, данными для рациональных чисел: произведение двух отрицательных чисел считается положительным, а отрицательного и положительного – отрицательным.

Действия вычитания, деления и возведение в степень действительных чисел производится так же, как и для рациональных чисел.

Для сложения и умножения их остаются правильными переставной, сочетательный и распределительный законы. Все правила действий над выражениями с переменными, доказанные ранее для рациональных переменных значений, остаются правильными и для произвольных действительных значений этих переменных. При выполнении действий над действительными числами в практических задачах их заменяют приближёнными значениями. Повышая точность, с которой принимаются приближённые значения, получают более точное значение результата. Решая прикладные задачи, иррациональные числа обычно округляют, убирая их бесконечные хвосты десятичных знаков.

Сравнение действительных чисел.

Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.

Из двух положительных действительных чисел, больше то, у которого целая часть больше.

Если целые части равны, большим считается то число, у которого первый из неравных десятичных знаков больше, а все предыдущие одинаковы.

Из двух отрицательных действительных чисел большим считается то, у которого абсолютная величина меньше.

Каждое отрицательное число меньше нуля и любого положительного числа.

ПРИМЕР:

1,4142… > 1,4139 …

–1,4152 … < –1,4139 …

–0,0674 … < 0,00176 …

9,8691 … < 9,87… .

Равными считаются такие действительные числа, которые изображаются одной и той же десятичной дробью.

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (при условии, что делитель отличен от нуля), причём действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами.

Если какое-то слагаемое рационально и выражается конечной десятичной дробью или даже является целым числом, его также можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, приписав как десятичные знаки бесконечное число нулей.

ПРИМЕР:

2,3 = 2,300… ,

7 = 7,000… .

Задания к уроку 1

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 14 декабря 2014 г.