Урок 14. Преобразование дробей

пятница, 4 декабря 2015 г.

Урок 14. Преобразование дробей

ВИДЕО УРОК

Кратное изменение числителя и знаменателя.

Поскольку дробь можно рассматривать как частное от деления двух чисел, то при изменении членов дроби е значение изменяется так же, как изменяется частное при изменении делимого и делителя. Рассмотрим, как изменяется дробь с изменением её членов.

Если числитель дроби уменьшить в несколько раз, не изменяя знаменателя, то дробь уменьшится во столько же раз.

ПРИМЕР:

Возьмём дробь ⁴/₇ и уменьшим её числитель в 2 раза. Получим дробь ²/₇, в 2 раза меньше первоначальной дроби.

Если знаменатель дроби уменьшить в несколько раз, не изменяя числителя, то дробь увеличится во столько же раз.

ПРИМЕР:

Возьмём дробь ³/₈ и уменьшим её знаменатель в 2 раза. Получим дробь ³/₄, в 2 раза больше первоначальной дроби.

Если числитель дроби увеличить в несколько раз, не изменяя знаменателя, то дробь увеличится во столько же раз.

ПРИМЕР:

Возьмём дробь ⁴/₇ и увеличим её числитель в 2 раза. Получим дробь ⁸/₇, которая в 2 раза больше первоначальной дроби.

Если знаменатель дроби увеличить в несколько раз, не изменяя числителя, то дробь уменьшится во столько же раз.

ПРИМЕР:

Возьмём дробь ³/₈ и увеличим её знаменатель в 2 раза. Получим дробь ³/₁₆, которая в 2 раза меньше первоначальной дроби.

Основное свойство дроби.

Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель её умножить на одно и то же число (или, что то же самое, увеличить в одинаковое число раз).

Это утверждение называют основным свойством дроби.

В общем виде это свойство дроби можно записать так:

Отсюда следует, что:

Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель её разделить на одно и то же число (или, что то же самое, уменьшить в одинаковое число раз).

ПРИМЕР:

С увеличением числителя и знаменателя на одно и то же число дробь увеличивается, если она правильная, и уменьшается, если она неправильная и не равна единице.

ПРИМЕР:

Сокращение дроби.

Сокращением дроби называется замена её другой, равной ей дробью с меньшими членами, путём деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

Есть несколько способов сокращения дробей.

ПЕРВЫЙ СПОСОБ

Последовательное сокращение на общие делители числителя и знаменателя.

ПРИМЕР:

ВТОРОЙ СПОСОБ

Полное сокращение на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ.

НОД (840; 3600) = 120.

Поэтому можно сразу сократить на 120:

Если члены дроби не имеют общих делителей, то дробь называется несократимой. У такой дроби числитель и знаменатель взаимно простые числа. Две несократимые дроби равны только тогда, когда у них равны и числители, и знаменатели. Любая дробь равна одной и только одной несократимой дроби.

Раздробление дробей.

Чтобы выразить дробь в меньших долях единицы, не изменяя её значение, надо увеличить числитель и знаменатель в одно и то же число раз. Выражение дроби в меньших долях единицы называют раздроблением дробей.

ПРИМЕР:

Выразить дробь в пятнадцатых долях единицы.

Приведение дроби к общему знаменателю.

Привести дроби к общему знаменателю – значит выразить их в одинаковых частях единицы без изменения значения дроби. Обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю.

Если мы сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями, то определить какая дробь больше не составляет труда, чем больше числитель, тем больше дробь. Если мы сравниваем дроби с разными знаменателями, то возникают некоторые трудности. Поэтому напрашивается вопрос: нельзя ли при сравнении двух дробей добиться того, чтобы знаменатели были одинаковы ? Это можно сделать, опираясь на основное свойство дроби, т. е. если мы в несколько раз увеличим знаменатель, то, чтобы не изменилась величина дроби, надо во столько же раз увеличить и её числитель. Этим путём мы можем дроби с разными знаменателями приводить к общему знаменателю. Если требуется привести к общему знаменателю какие-нибудь дроби, то сначала нужно найти число, которое делилось бы на знаменатель каждой из данных дробей. Обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю. Следовательно, первым шагом в процессе приведения дробей к общему знаменателю будет нахождение наименьшего общего кратного для данных знаменателей. После того как наименьшее общее кратное найдено, нужно путём деления его на каждый знаменатель получить для знаменателя каждой дроби так называемый дополнительный множитель. Это будут числа, указывающие, во сколько раз нужно увеличить числитель и знаменатель каждой дроби, чтобы знаменатели их сравнялись.

ПРИМЕР:

Приведём к наименьшему общему знаменателю дроби:

НОК (72; 48) = 144.

Дополнительные множители:

177 : 72 = 2, 144 : 48 = 3.

Следовательно,

ПРИМЕР:

Приведём к общему знаменателю три дроби:

Найдём для знаменателей 30, 60 и 70 наименьшее общее кратное:

30 = 2 × 3 × 5;

60 = 2 × 2 × 3 × 5;

70 = 2 × 5 × 7.

Наименьшее общее кратное будет:

2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420.

Это и будет наименьший общий знаменатель данных дробей. Теперь найдём дополнительные множители:

420 : 30 = 14;

420 : 60 = 7;

420 : 70 = 6.

Значит, для знаменателя первой дроби дополнительным множителем

будет 14, для знаменателя второй – 7 и для знаменателя третьей – 6. Умножая члены дробей на соответствующие дополнительные множители, получим дроби с равными знаменателями:

Если знаменатели дробей взаимно простые числа, поэтому наименьшее общее кратное получится от их перемножения.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно сначала найти наименьшее общее кратное всех знаменателей и для каждого знаменателя определить дополнительный множитель, а затем оба члена каждой дроби умножить на соответствующий дополнительный множитель её знаменателя.

Задания к уроку 14

ДРУГИЕ УРОКИ

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 4 декабря 2015 г.