Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них

ВІДЕО УРОК

Вираз всіх тригонометричних функцій через одну з них за допомогою основних тригонометричних тотожностей.

Основні тригонометричні тотожності дозволяють визначити за значенням однієї з тригонометричних функцій значення всіх інших.

ПРИКЛАД:

Відомо що

sin x = –³/₅,

причому

π < х <  ^3π/₂.

Знайти

cos x, tg x, ctg x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З формули

sin² α + cos² α = 1

отримуємо

cos² х  = 1 – sin² х.

підставивши замість  sin х  його значення, отримаємо:

Отже,

cos² х = ¹⁶/₂₅

значить,

або  cos х = ⁴/₅

або  cos х = –⁴/₅.

За умовою:

π < х <  ^3π/₂,

тобто аргумент  х  належить третій чверті. Але в третій чверті косинус від'ємний. Значить, з двох зазначених вище можливостей вибираємо одну:

cos х = –⁴/₅.

Знаючи  sin x  і  cos х, знаходимо  tg x  і  ctg x:

ctg x = ⁴/₃.

ВІДПОВІДЬ:

cos х = –⁴/₅,

tg x = ³/₄,

ctg x = ⁴/₃.

ПРИКЛАД:

Дано:

sin α = ²⁰/₂₉.

Обчислити значення інших тригонометричних функцій гострого кута  α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З формули:

sin² α + соs² α = 1

маємо:

соs² α = 1 – sin² α

Підставляючи замість  sin² α  його чисельне значення  ²⁰/₂₉, отримуємо:

Отже:

соs α = ²¹/₂₉

Для знаходження  tg α  скористаємося формулою

Отримаємо:

tg α = ²⁰/₂₉ : ²¹/₂₉ = ²⁰/₂₁.

Звідси, користуючись формулою

tg α ∙ сtg α = 1,

Маємо:

ВІДПОВІДЬ:

соs α = ²¹/₂₉,

tg α = ²⁰/₂₁,

сtg α = ²¹/₂₀.

ПРИКЛАД:

Визначити значення тригонометричних функцій кута  α, якщо

tg α = ³/₄

і  180° < α < 270°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За формулою

знаходимо

За формулою

знаходимо

З огляду що  sec α < 0  при 

180° < α < 270°.

Отримаємо

–sec α = ⁵/₄

звідки

sec α = –⁵/₄.

За формулою

знаходимо

сos α = – ⁴/₅.

Значення  sin α  знайдемо з формули

З огляду що  sin α < 0  при 

180° < α < 270°

знаходимо

sin α = –³/₅.

ВІДПОВІДЬ:

sin α = –³/₅,

соs α = –⁴/₅,

сtg α = ⁴/₃.

ПРИКЛАД:

Відомо що

ctg x = –⁵/₁₂,

причому

^π/₂ < х < π.

Знайти

sin х, cos x, tg x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З формули

1 + ctg² α = cosec² α

знаходимо

підставивши замість  ctg x  його значення, отримаємо:

Отже,

sin² х = ¹⁴⁴/₁₆₉

значить,

або  sin х = ¹²/₁₃

або  sin х = –¹²/₁₃.

За умовою:

^π/₂ < х < π,

тобто аргумент  х  належить другій чверті. Але в другій чверті синус позитивний. Значить, з двох зазначених вище можливостей вибираємо одну:

sin х = ¹²/₁₃.

Для відшукання значення  cos x  скористаємося формулою:

З цієї формули знаходимо

cos x = ctg x ∙ sin х =

= –⁵/₁₂ ∙ ¹²/₁₃ = –⁵/₁₃.

Залишилося обчислити значення  tg x. З рівності

Знаходимо

tg x = –¹²/₅.

ВІДПОВІДЬ:

sin х = ¹²/₁₃,

cos х = –⁵/₁₃,

tg x = –¹²/₅.

ПРИКЛАД:

Дано:

сtg α = ⁴⁵/₂₈.

Обчислити інші тригонометричні функції гострого кута  α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Записуємо значення  tg α  як величину, зворотну  сtg α:

tg α = ²⁸/₄₅.

на підставі формули

маємо:

Звівши обидві частини цієї рівності в квадрат, отримаємо:

Додамо до обох частин цієї рівності по одиниці:

Враховуючи що

sin² α + cos² α = 1,

знаходимо:

звідки

sin α = ²⁸/₅₃.

З формули

Маємо, що

соs α = сtg α ∙ sin α.

У застосування до даного випадку отримаємо:

ВІДПОВІДЬ:

sin х = ²⁸/₅₃,

cos х = ⁴⁵/₅₃,

tg x = ²⁸/₄₅.

Обчислення значень тригонометричних функцій гострого кута по значенню однієї з них треба робити кожен раз, як було показано вище на прикладах, користуючись основними формулами:

які треба твердо завчити.

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Якщо перетворити основні тригонометричні тотожності, що не зраджуючи певного значення заданої функції, то можна вивести деякі співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. Можна отримати вирази будь-який з тригонометричних функцій через всі інші за допомогою наступних формул:

Формули, наведені в таблиці, дозволяють за значенням однієї з тригонометричних функцій знаходити значення всіх інших.

У всіх формулах, в яких входять функції  tg α  або  sес α, виключається значення

α = (2k + 1) ^π/₂,

де  k – будь-яке ціле число, так як при цих та тільки при цих значеннях α функції  tg α  або  sес α  не визначені, тобто не існують. У всіх формулах, в які входять функції  ctg α  або  cosес α, виключаються значення 

α = kπ,

де  k – будь-яке ціле число, так як при цих та тільки при цих значеннях α функції  ctg α  або  cosес α  не визначені (не існує).

У тих формулах, в які входять радикали, в загальному випадку перед радикалом слід ставити подвійний знак  ±. Вибір певного знака може бути проведений, якщо дано додаткову умову.

Нехай, наприклад,

Якщо кут  α  знаходиться в інтервалі від  0  до  π (або від  2kπ  до  2kπ + π, де  k – будь-яке ціле число), то

а якщо кут  α  знаходиться в інтервалі від  π  до  2π (або від  π + 2kπ  до  2π + 2kπ, де  k – будь-яке ціле число), то

Таким чином, вибір знака перед радикалом залежить від того проміжку, в якому знаходиться  α.

ПРИКЛАД:

Дано:

соs α = ²/₇.

Обчислити значення інших тригонометричних функцій гострого кута  α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З формули:

sin² α + соs² α = 1

маємо:

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Висловити значення тригонометричних функцій гострого кута через  cos α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З формули:

sin² α + cos² α = 1

знаходимо:

З формули:

маємо:

і, отже

Подібного роду завдання можна вирішувати в загальному вигляді і скласти формули, що виражають будь-яку з тригонометричних функцій через всі інші.

ПРИКЛАД:

Висловити  cos α  через всі інші тригонометричні функції кута α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З тотожності:

sin² α + cos² α = 1

знаходимо:

Далі з рівності

sec² α = 1 + tg² α

знаходимо:

звідки

Замінивши в отриманому рівність

знаходимо:

Так як

то остання рівність набуде вигляду:

Отже

ПРИКЛАД:

Вивести вирази тригонометричних функцій гострого кута через  tg α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З формули:

маємо:

Додаючи до обох частин цих рівностей по одиниці, отримаємо:

або, так як

sin² α + cos² α = 1, то

звідси

і, отже,

нарешті,

ПРИКЛАД:

Дано:   tg α = ⁷/₈.

Обчислити з точністю до  0,01  інші тригонометричні функції кута  α, якщо

π < α < ^3π/₂.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

ctg α = ⁸/₇ ≈ 1,14,

cos α ≈ –¹/_1,33 ≈ –0,75,

sin α ≈ –⁷/₈ ∙ (–0,75) ≈ –0,66,

cosec α ≈ –¹/_0,66 ≈ –1,52.

ПРИКЛАД:

Дано:   ctg α = a.

Знайти інші тригонометричні функції кута  α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Будемо вважати, що  а ≠ 0, тоді

tg α = ¹/_а.

Так як

ctg² α + 1 = cosec² α, то

З формули

знаходимо:

cos α = ctg α ∙ sin α,

Нарешті

Завдання до уроку 12

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Градусний вимір кутових величин
• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 3. Основні тригонометричні функції
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
• Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 15. Теорема косинусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 19. Формули зведення (1)
• Урок 20. Формули зведення (2)
• Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень