Урок 6. Аналитический способ задания функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы  y = f(x), где  f(x) – некоторое выражение с переменной  х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

Если две величины, характеризующие какой – либо процесс, изменяются в ходе процесса так, что между изменением одной и другой из этих величин имеется определённая зависимость, то говорят, что между этими величинами существует функциональная связь, или функциональная зависимость. Та переменная величина, которая в данном процессе изменяется независимо от другой величины, называется аргументом. Та же переменная величина, значения которой определяется значениями аргумента, называется функцией. Функциональная зависимость записывается символически так:

и читается:  у  есть функция от  х  (игрек равняется эф от икс). Здесь:

х  – аргумент, т. е. независимая переменная,                                                                 

у  – функция, значение которой зависит от значения  х.

В этом случае имеем функцию, заданную равенством  y = f(x). Правда, часто слова  <<заданное равенство>>  опускают и говорят короче: имеем функцию  y = f(x).

В зависимости от того, какой формулой выражается та или иная функция, рассматривают разные виды функций. В элементарной математике рассматриваются действия сложения, вычитания, умножения, деления, подъема к степени, извлечения корня, логарифмирования, вычисления синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов, секансов, косексансов, арксинусов, арккосинунсов, арккосинусов, арккосинусов, арккосинусов, ккосекансов. Эти действия называют элементарными действиями. Действия сложения, вычитания, умножения, деления, подъема к степени с рациональным показателем, извлечение корня называют также алгебраическими действиями. Остальные элементарные действия называют элементарными трансцендентными.

Если функцию можно задать формулой, содержащей только алгебраические действия, ее называют алгебраической функцией.

Если функцию можно задать формулой, содержащей элементарные действия, среди которых и элементарные трансцендентные действия, то называют элементарной трансцендентной функцией.

Задание функции формулой удобно тем, что позволяет определить значение функции для произвольного значения аргумента. Такая задача функции достаточно экономна: в основном формула занимает одну строчку. Если функцию задают формулой и ничего не говорят об области ее определения, то считают, что эта область – множество всех переменных значений, при которых эта формула имеет смысл.

ПРИМЕР:

Соотношение между длиной  а  стороны квадрата и его площадью  S можно задать формулой   S = a². Задавание функции формулой удобно тем, что это даёт возможность находить значение функции для любого значения аргумента. Такое задавание функции очень экономно: самое большее формула занимает всего один ряд.

ПРИМЕР:

Зависимость объёма куба  v  от длины его ребра  а  можно выразить формулой:

v = a³.

Эта формула показывает, как для каждого значения  а  можно вычислить соответствующее значение  v. Если  а = 4, то  а³ = 64, и т. д.

ПРИМЕР:

Пусть  Х = {–2; 1; 2; 4} – множество значений переменной  х. Каждому значению переменной  х поставим в соответствие значение переменной  у, вычисленное по формуле:

y = х(х – 2). 

Получаем:

Зная множество  Х  значений переменной  х, мы нашли множество  Y  соответствующих значений переменной  у:

Y = {8; –1; 0}.

С помощью формулы

у = х(х – 2)

между множествами  Х  и  Y  установлено соответствие. Это соответствие является функцией, так как каждому элементу множества  Х  (значению переменной  х)  соответствует единственный элемент множества Y   (значение переменной  у).

Если рассматриваемую функцию обозначить буквой   f, то можно записать, что

f (–2) = 8,    f (1) = –1,

или вообще:

f (х) = х(х – 2),   где   х ∈  Х.

Если функция, заданная формулой  у = f (х), определена на множестве тех значений переменной  х, при которых выражение  f (х)   имеет смысл, то при задании функции формулой область её определения обычно не указывается.

ПРИМЕР:

Если говорится, что функция задана формулой:

и при этом ничего не сказано об области её определения, то предполагается, что область определения функции состоит из всех чисел, кроме  2, так как при значении аргумента равного 2, в знаменателе дроби будет  0, а на  0  делить нельзя. Говорят, что при значении аргумента равного  2  функция будет неопределённой.

В зависимости от того, какой формулой выражается та или иная функция, рассматривают различные виды функций. В элементарной математике рассматриваются действия сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, вычисление синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов, секансов, косекансов, арксинусов, арккосинусов, арктангенсов, арккотангенсов, арксекансов и арккосекансов. Эти действия называют элементарными действиями. Действия сложения, вычитания, умножение, деление, возведение в степень с рациональным показателем, извлечение корня называют также алгебраическими действиями. Остальные элементарные действия называют элементарными трансцендентными.

Если функцию можно задать формулой, содержащей только алгебраические действия, её называют алгебраической функцией.

Если функцию можно задать формулой, содержащей элементарные действия, в состав которых входят и элементарные трансцендентные действия, то её называют элементарной трансцендентной функцией.

ПРИМЕР:

Функция задана формулой 

 f(x) = x²+ 4.

Найдите   f(3).

РЕШЕНИЕ:

f(3) = 3²+ 4 = 13.

ПРИМЕР:

Функция задана формулой

f(x) = х² – 6.

Найдите  f(–2).

РЕШЕНИЕ:

f(x) = (–2)² – 6 = 4 – 6 = –2.

ПРИМЕР:

Функция  у = f(x)  задана аналитически формулой:

Найти  f(–x).

РЕШЕНИЕ:

Чтобы найти  f(–x), надо в  f(x)  всюду вместо  х  подставить  (–х). Получим:

Итак,

ПРИМЕР:

Функция  у = f(x)  задана аналитически формулой:

Найти  f(kx).

Итак,

ПРИМЕР:

Функция  у = f(x)  задана аналитически формулой:

Найти  f(|x|).

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Функция  у = f(x)  задана аналитически формулой:

Найти  f(x + a).

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Функция  у = f(x)  задана аналитически формулой:

Эта функция определена на отрезке  [–1; 1]. Для вычисления её значения нужно точно определить, какой формулой следует воспользоваться для заданного конкретного значения аргумента. Например, если нужно вычислить  f(0,5), воспользуемся равенством  f(x) = x + 2  (поскольку число  х = 0,5  удовлетворяет условию  0 < x ≤ 1) и получим  f(0,5) = 2,5. Если же нужно вычислить  f(–0,5), то воспользуемся равенством  f(x) = 2x + 3  (поскольку число  х = –0,5  удовлетворяет условию  –1 ≤ x < 0) и получим  f(–0,5) = 2.

Задания к уроку 6

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Координатная плоскость
• Урок 2. Диаграммы
• Урок 3. Графики
• Урок 4. Множества
• Урок 5. Что такое функция ?
• Урок 7. Табличный способ задания функции
• Урок 8. Графический способ задания функции
• Урок 9. Нахождение области определения и области значения функции аналитическим методом
• Урок 10. Нахождение области определения и области значения функции с помощью графика
• Урок 11. Нули функции
• Урок 12. Возрастание и убывание функции
• Урок 13. Экстремальные значения функции
• Урок 14. Симметричные функции
• Урок 15. Чётные и нечётные функции
• Урок 16. Функция, обратная данной
• Урок 17. Линейная функция
• Урок 18. График линейной функции
• Урок 19. Прямая пропорциональность
• Урок 20. График прямой пропорциональности
• Урок 21. Взаимное расположение графиков линейных функций
• Урок 22. Функция обратно пропорциональной зависимости
• Урок 23. График функции обратно пропорциональной зависимости
• Урок 24. Квадратичная функция
• Урок 25. График функции  у = aх² + b
• Урок 26. График функции  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. График функции  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функция  y = √͞͞͞͞͞х и её график 
• Урок 29. Функция  y = хⁿ и её график
• Урок 30. Построение графиков функций методом геометрических преобразований