Урок 5. Что такое функция ?

вторник, 22 марта 2016 г.

Урок 5. Что такое функция ?

Функция – одно из важных понятий в математике, она даёт возможность исследовать и моделировать не только состояние предметов, но и процессы.

Функциональная зависимость.

Часто бывает так, что одна переменная величина зависит от другой: каждому значению одной величины соответствует значение другой.

Если две переменные величины связаны между собой так, что каждому значению одной из них соответствует определённое значение другой, то говорят, что между этими переменными существует функциональная зависимость.

ПРИМЕР:

Радиус окружности и её длина.

Вес покупки и её стоимость.

Вес тела і его расстояние от центра Земли.

ПРИМЕР:

На рисунке показаны соответствия между множеством

А = {1; 2; 3; 4}

и множеством

В = {15; 20; 25}.

В соответствии g каждому элементу множества А соответствует один и только один элемент множества В (от каждой точки исходит стрелка, и притом только одна). Для таких соответствий используется специальный термин: функция.

Соответствие h не является функцией, так как для элемента 1 нет соответствующего элемента (от точки 1 не исходит стрелка).

Соотношение p также не является функцией, так как элементу 2 соответствует более одного элемента (от точки 2 исходит две стрелки)

Соответствие между множеством Х и множеством Y, при котором каждому элементу множества Х соответствует один и только один элемент множества Y, называется функцией.

Функцию с областью определения Х и множеством значений Y называют также отображением множества Х на множестве Y.

ПРИМЕР:

Функцию f, заданную стрелками на рисунке, можно назвать отображением множества А на множестве В.

Отображение f переводит число –2 в число 4. Это записывается так:

f (–2) = 4

(читается: “эф от минус двух равно четырём”).

Аргумент и функция.

Если две переменные величины находятся в функциональной зависимости, то та из них, которая может принимать произвольные допустимые значения, называется независимой переменной или аргументом. Другая величина, значения которой зависят от значений аргумента, называется зависимой переменной или функцией.

ПРИМЕР:

Известно, что чем выше температура, тем больше становится длина стального рейса, т. е. длина рельса зависит от температуры. В данном случае температура – аргумент, а длина рельса – функция.

Площадь квадрата есть функция длины его стороны.

Путь, пройденный поездом, – функция времени.

Урожайность – функция количества удобрений.

Значения трёхчлена

х² + 5х + 6

– функция значений х.

Если величина у есть функция величины х, пишут

y = f(x)

и читают: “у равен эф от х”. Для обозначения функциональной зависимости употребляют и другие буквы.

ПРИМЕР:

Если v есть функция t, можно записать и так:

v = φ(t)

(“v равно фи от t”).

Заметим, что в современной математике даётся более широкое понимание функции. Рассматриваются и такие функции, в которых аргумент не обязательно величина; аргументом функции может быть множество произвольных элементов – точек, отрезков и др. значения функции тоже не обязательно числа. Самое широкое современное определение функции можно сформулировать так:

Функцией, определённой на множестве М, называется правило f, при котором каждому элементу х множества М ставится в соответствие единственный элемент f(x) некоторого множества N.

ПРИМЕР:
Соответствие f, изображённое на рисунке стрелками, будет функцией, а соответсьвия g и h – не функции.

Некоторые математики множества М и N называют областями отправления и прибытия и дают следующее определение.

Функция – это соответствие, при котором каждому элементу области отправления соответствует единственный элемент области прибытия.

Таким образом, сейчас в математике словом “функция” называют и закон (правило) соответствия f, и величину f(x).

Новое (современное) понятие функции не противоречит старому (классическому), оно только более общее.

Функции, заданные на числовом множестве и значения которых тоже числа, называются числовыми функциями.

Мы будем рассматривать только числовые функции и называть их для краткости просто функциями.

Если даны: числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определённое число у, то говорят, что задана функция у = f(х) с областью определения Х. Пишут:

у = f(х), x ∈ X.

При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной.

Для области определения функции используют также обозначение D(f). Множество всех значений функции у = f(х), x ∈ X, называют областью значений функции и обозначают E(f).

Если функция задана выражением, то допускается её задание в виде у = f(х) без условия x ∈ X в случае, когда область определения выражения f(х) совпадает с областью определения функции.

ПРИМЕР:

Запись <<функция у = √͞͞͞͞͞x >> означает

у = √͞͞͞͞͞x, х ∈ [0, +∞),

поскольку область определения выражения √͞͞͞͞͞x задаётся неравенством х ≥ 0.

Задания к уроку 5

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 22 марта 2016 г.