Урок 6. Прямокутний паралелепіпед

среда, 27 декабря 2017 г.

Урок 6. Прямокутний паралелепіпед

ВІДЕОУРОК

Прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники, називається прямокутним паралелепіпедом.

Всі грані прямокутного паралелепіпеда є прямокутниками, всі двогранні кути прямими.

Прямокутний паралелепіпед є чотирикутною прямою призмою.

Сірникова коробка, шматок мила, цеглина дають уявлення про прямокутний паралелепіпед. Поверхня прямокутного паралелепіпеда складається з шести прямокутників. Кожний з цих прямокутників називається гранню прямокутного паралелепіпеда. У прямокутному паралелепіпеді протилежні грані рівні. Грань на якій <<стоїть>> прямокутний паралелепіпед, та протилежна їй грань називаються основами паралелепіпеда. Останні грані називаються бічними гранями.

Сторони прямокутників називаються ребрами прямокутного паралелепіпеда. Кожне ребро утворене при перетині двох бокових граней називається бічним ребром. Усі бічні ребра прямокутного паралелепіпеда рівні між собою. Кожне з них є висотою прямокутного паралелепіпеда.Прямокутний паралелепіпед має три виміри – довжину, ширину й висоту. Довжина кожного з трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, називається виміром паралелепіпеда.

Загалом у прямокутного паралелепіпеда 8 вершин і 12 ребер. Його поверхню утворюють 6 прямокутників, які називаються гранями. У прямокутного паралелепіпеда по 4 ребра мають ту саму довжину і таких четвірок – три. Коротко говорять: прямокутний паралелепіпед із ребрами а, b і с. Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда з ребрами а, b, і с дорівнює

4(а + b + с).

Деякі властивості прямокутного паралелепіпеда.

– усі грані – прямокутники;

– діагональні перерізи – прямокутники;

– усі двогранні та плоскі кути – прямі;

– ребра, що виходять з однієї вершини, взаємно перпендикулярні;

– в прямокутному паралелепіпеді протилежні грані рівні і паралельні;

– діагоналі прямокутного паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться в ній пополам;

– сума квадратів всіх діагоналей прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів усіх його ребер;

– квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів;

– у прямокутному паралелепіпеді всі чотири діагоналі рівні між собою.

Теорема Піфагора для простору.

Квадрат довжини відрізка дорівнює сумі квадратів довжин його проекцій на три взаємно перпендикулярні прямі.

Якщо пряма утворює із взаємно перпендикулярними прямими кути φ₁ , φ₂ і φ₃, то

cos²φ₁ + cos²φ₂ + cos²φ₃ = 1.

З наслідку просторової теореми Піфагора маємо ще одну властивість прямокутного паралелепіпеда:

Сума квадратів косинусів кутів, які діагональ прямокутного паралелепіпеда утворює з його ребрами, дорівнює одиниці.

Поверхня прямокутного паралелепіпеда.

Бічною поверхнею прямокутного паралелепіпеда називається сума площ всіх її бічних граней.

Повною поверхнею прямокутного паралелепіпеда називається сума її бічної поверхні і площ основ.

Бічна поверхня прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку периметра основи на висоту прямокутного паралелепіпеда.

ЗАДАЧА:

Дано зображення прямокутного паралелепіпеда

ABCDA₁B₁C₁D₁.

Визначити взаємно розміщення площини АВС і прямих:

а) A₁B₁; б) BB₁;
в) DB₁; г) CD.

Позначимо площину АВС через α.

a) оскільки A₁B₁ ∥ AB, AB ∈ α, то A₁B₁ ∥ α;

б) оскільки BB₁ ⊥ AB, A₁B₁ ⊥ BC і AB ∈ α, BC ∈ α, то BB₁ ⊥ α;

в) оскільки пряма DB, і площина α мають спільну точку D, то пряма DB₁ перетинає площину α;

г) пряма CD належить площині α.

ЗАДАЧА:

Дано зображення прямокутного паралелепіпеда

ABCDA₁B₁C₁D₁.

Користуючись рисунком, визначити:

а) площини, які перетинають площину ABС;

б) площини, які паралельні до площини АBС.

а) площина ABB₁ перетинає площину АВС по прямій АВ;

площина BB₁C₁ перетинає площину АВС по прямій ВС;

площина DD₁С₁ перетинає площину АВС по прямій DС;

площина AA₁D₁ перетинає площину АВС по прямій АD;

б) площина A₁B₁C₁ паралельна площині АBС.

ЗАДАЧА:

Сторони основи прямокутного паралелепіпеда відносяться як

1 : 7,

довжина діагоналей бічних граней дорівнюють

13 см та 37 см.

Визначити площу повної поверхні паралелепіпеда.

Оскільки протилежні грані прямокутного паралелепіпеда – рівні прямокутники, то в задачі заданими є довжини діагоналей суміжних бічних граней.

Нехай у прямокутному паралелепіпеді

ABCDA₁B₁C₁D₁

відрізки D₁A та D₁C – діагоналі суміжних бічних граней.

D₁A = 13 см, D₁C = 37 см.

Сторони основи DA і DC є ортогональними проекціями на площину основи діагоналей D₁A та D₁C відповідно. Оскільки довшій похилій відповідає довша проекція, то AD < CD і згідно з умовою

AD : CD = 1 : 7.

Нехай

AD = k см,
CD = 7k см (k > 0),
DD₁ = Н см.

Тоді з
∆D₁DA (∠ D = 90°) і
∆D₁DC (∠ D = 90°) за теоремою Піфагора отримаємо:

13² = H² + k²,

37² = H² + 49k²,

звідки

37² – 13² = 48k², k = 5.

Отже,

AD = 5 см, CD = 35 см,

Тоді:

S_осн = AD×CD =
5×35 = 175 (см²),

P = 2(AD + CD) =
2(5 + 35) = 80 (см),

S_б = P×H = 80×12
= 960 (см²),

S_п = S_б + 2S_осн =
960 + 2×175 = 1310 (см²).

ВІДПОВІДЬ: 1310 см².

Вирішення стереометричних задач за допомогою тригонометрії.

ЗАДАЧА:

Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює d і утворює з площиною однієї бічної грані кут α, а з площиною іншої бічної грані – кут β. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁– заданий прямокутний паралелепіпед.
В₁D – діагональ, В₁D = d, А₁D – проекція діагоналі В₁D на грань АА₁D₁D, тому ∠ В₁DА₁ – кут, який утворює діагональ з площиною цієї грані. За умовою, ∠ В₁DА₁ = α.

Аналогічно ∠ В₁DC₁– це кут, який утворює діагональ з площиною бічної грані DD₁C₁C. За умовою, ∠ В₁DC₁ = β.

З ∆B₁BD (∠ B = 90º):

B₁B = d sin α.

З ∆B₁C₁D (∠ C₁= 90º):

B₁C₁ = d sin β, DC₁ = d cos β

З ∆DCC₁ (∠ C = 90º):

S_б = P∙ H = 2(BC + DC) ∙ B₁B =

ВІДПОВІДЬ:
Завдання до уроку 6

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 27 декабря 2017 г.