Задание 3. Объём пирамиды

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

Объём пирамиды

 1. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно  l  и образует со смежными сторонами прямоугольника углы  α  и  β. Найдите объём пирамиды.

 2. Найдите объём пирамиды, основание которой – треугольник с двумя углами  α  и  β  и радиусом описанного круга  R. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости её основания под углом  γ.

 а)  ²/₃ R³sin α sin β sin (α + β);     

 б)  ¹/₃ R³sin α sin β sin (α + β);     

 в)  ²/₃ R³sin 2α sin 2β sin (α + β);     

 г)  ⁴/₃ R³sin α sin β sin (2α + 2β).

 3. Через медиану основания треугольной пирамиды и вершину этой пирамиды провели секущую плоскость. Найдите отношение объёмов полученных частей пирамиды.

 а)  3 : 1;      
 б)  3 : 2;     

 в)  1 : 1;      
 г)  2 : 1.

 4. Боковые рёбра пирамиды наклонено к плоскости основания под углом  30°. Основание пирамиды – треугольник, стороны которого равны  √͞͞͞͞͞3 м, 2 м  и  3 м. Найдите объём пирамиды.

 а)  0,8 м³;      
 б)  0,5 м³;     

 в)  0,3 м³;      
 г)  1,2 м³.

 5. Основание пирамиды – ромб с острым углом  60°. Боковые грани наклонены к площади основания под углом  60°. Найдите объём пирамиды, если радиус вписанной в ромб окружности равен

 а)  8 см³;      

 б)  10 см³;     

 в)  6 см³;      
 г)  12 см³.

 6. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, основание которого равно  6 см, а высота  9 см. Каждое боковое ребро равно  13 см. Найдите объём пирамиды.

 а)  106 см³;      
 б)  110 см³;     

 в)  102 см³;      
 г)  108 см³.

 7. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник. Боковые рёбра пирамиды равные, а боковые грани, которые содержат катеты основания, наклонены к плоскости основания под углом  30°  и  60°. Найдите объём пирамиды, если её высота равна  3 см.

 а)  16 см³;      
 б)  10 см³;     

 в)  18 см³;      
 г)  12 см³.

 8. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами  a  и  b. Каждое ребро пирамиды наклонено к площади основания под углом  φ. Найдите объём пирамиды.

 9. Дан трёхгранный угол  SABC, у которого все три плоские углы прямые. На его рёбрах отложили отрезки: 

SA = а, 
SB = b, 
SC = с. 

Через точки  А, В, С  провели плоскость. Найдите объём пирамиды  SABC.

10.  Найдите объём треугольной пирамиды, стороны основания которой равны  а, b, с, а каждое боковое ребро равно  l.

11. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами  

18 см  и  24 см. 

Все боковые рёбра пирамиды одинаковые и равны по  25 см. Найдите объём пирамиды.

 а)  2884 см³;     

 б)  2876 см³;     

 в)  2888 см³;     

 г)  2880 см³.

12. Основание пирамиды – прямоугольник. Две боковые грани пирамиды образуют при пересечении высоту пирамиды, которая равна  Н, а две другие наклонены до основания под углом  α  и  β. Найдите объём пирамиды.

 а)  ¹/₃ H³ ctg α ctg 2β;     

 б)  ¹/₃ H³ ctg α ctg β;     

 в)  ¹/₃ H³ ctg 2α ctg β;     

 г)  ¹/₃ H³ ctg 2α ctg 2β.

Задания к уроку 9

• Задание 1
• Задание 2