Задание 1. Усечённая пирамида

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

УСЕЧЁННАЯ ПИРАМИДА

или посмотрите

ВИДЕОУРОК

 1. Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырёхугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении  

1 : 2, 

считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усечённой пирамиды равна  4 дм, а площадь её полной поверхности равна  186 дм². Найдите высоту усечённой пирамиды.

 а)  √͞͞͞͞͞5 дм;     

 б)  2√͞͞͞͞͞7 дм;     

 в)  2√͞͞͞͞͞5 дм;     

 г)  √͞͞͞͞͞7 дм.

 2. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны  4 дм  и  2 дм, а боковое ребро равно  2 дм. Найдите апофему пирамиды.

 а)  √͞͞͞͞͞3 дм;        

 б)  2√͞͞͞͞͞2 дм;     

 в)  2√͞͞͞͞͞3 дм;     

 г)  √͞͞͞͞͞2 дм.

 3. Основаниями усечённой пирамиды являются правильные треугольники со сторонами  5 см  и  3 см. Одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания и равно  1 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

 а)  12;      
 б)  18;       

 в)  16;      
 г)  14.

 4. Дано: МАВСD – правильная пирамида,  

А₁В₁С₁ ∥ АВС, 
МО₁ : О₁О = 1 : 2, 

NК – апофема, 
NК = 4 дм, 
S_ус.пир. = 186 дм². 

Найти  ОО₁.

 а)  √͞͞͞͞͞5 дм;     

 б)  √͞͞͞͞͞7 дм;     

 в)  √͞͞͞͞͞3 дм;     

 г)  √͞͞͞͞͞6 дм.              

 5. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде проведено сечение через диагонали оснований и сечение, проходящее через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания. Острый угол между этими секущими плоскостями равен  α. Найти отношение площадей сечений.

 а)  2cos α;     

 б)  cos 2α;     

 в)  cos α;     

 г)  2cos 2α.

 6. Основаниями правильной усечённой пирамиды служат квадраты со сторонами  а  и  b (a > b). Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом  α. Определите величину двугранных углов при сторонах оснований.

 а)  artg(ctg α);     

 б)  arctg(tg 2α);     

 в)  arctg(tg α);     

 г)  arctg(ctg α).

 7. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны  4  и  4√͞͞͞͞͞3 . Боковая грань наклонена к плоскости основания под углом  60°. Найдите полную поверхность пирамиды.

 а)  128;      
 б)  136;     

 в)  112;      
 г)  64.

 8. Боковое ребро правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равно  0,5√͞͞͞͞͞3  и наклонено к плоскости основания под углом  60°. Диагональ пирамиды перпендикулярна боковому ребру. Найдите площадь большего основания.

 а)  1,8;      
 б)  2;     

 в)  1,2;      
 г)  1,5.

 9. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде высота равна  2, а стороны оснований равны  3  и  5. Найдите диагональ усечённой пирамиды.

 а)  4;      
 б)  6;     

 в)  3;      
 г)  8.

10. В правильной треугольной усечённой пирамиде  

АВСА₁В₁С₁  

сторона большего основания  АВС  равна  b. Расстояние от точки  А  до плоскости треугольника  А₁ВС₁  равно  m, а расстояние от точки  В₁  до той же плоскости равно  n. Найти высоту этой усечённой пирамиды.

11. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде  

АВСDA₁B₁C₁D₁  

проведено два сечения  

АA₁C₁C  и  АBC₁D₁. 

Первое имеет площадь  S₁, второе – площадь  S₂. Найти площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно основаниям.

12. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны  4 дм  и  2 дм, а боковое ребро равно  2 дм. Найдите высоту пирамиды.

Задания к уроку 10

• Задание 2
• Задание 3