Урок 8. Пирамида

суббота, 24 марта 2018 г.

Урок 8. Пирамида

ВИДЕОУРОК

Есть предметы, которые имеют форму пирамиды. Головоломка Рубика – пример треугольной пирамиды, а объёмный пазл – четырёхугольной пирамиды.

Многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, которые имеют общую вершину, называется пирамидой.

Ограничивают пирамиду её грани. В треугольной пирамиде все грани треугольники, а в четырёхугольной – не все. Одна грань четырёхугольник. В пирамиде одна грань может быть каким угодно многоугольником. Такая грань называется основанием пирамиды. Остальные грани обязательно будут треугольниками. Они называются боковыми гранями пирамиды. Называют пирамиду в зависимости от того, какой многоугольник будет её основанием. Если основание – треугольник, пирамида называется треугольной, если четырёхугольник – четырёхугольной, если n-угольник – n-угольною. Как и грани, вершины пирамиды тоже имеют свои названия. Вершина, в которой сходятся боковые грани пирамиды, называют вершиной пирамиды, а остальные вершины – вершинами её основания. Вершина пирамиды всегда лежит против основания пирамиды. Аналогично, в пирамиде есть боковые рёбра и рёбра основания. Боковые рёбра, как и боковые грани, сходятся в вершине пирамиды. Они соединяют вершину пирамиды с вершинами основания. Обозначают пирамиду названиями её вершин, например, SABCD. Первой буквой всегда записывают вершину пирамиды.

В отличии от прямоугольного параллелепипеда и куба, количество вершин, ребер и граней не одинаковое для всех пирамид, а зависит от того, какого вида пирамида.

Высотою пирамиды называется перпендикуляр SО, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания.

Обратите внимание, что в пирамиде буквой S обычно обозначают и её вершину и поверхность (полную или отдельные её части). Но это не производит до недоразумений, так как по смыслу всегда ясно, про что идет речь в данном случае. Кроме того, если рассматривать поверхность или площадь, то в обозначении часто ещё вводят дополнительные индексы, например S_бок (боковая поверхность), S_ABCD (площадь основания ABCD), S_ASB(площадь грани ASB) и т. д.

Свойства сечения, образованного плоскостью, параллельной к основанию пирамиды.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной к основанию, то:

– боковые рёбра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки;

– в сечении получается многоугольник, подобный многоугольнику, который находится в основании;

– площадь сечения и основания относятся между собой, как квадраты их удалений от вершины пирамиды.

На рисунке изображена пирамида SABCD и параллельная плоскость
A₁B₁C₁D₁ ∥ ABCD.

В таком случае

Многоугольник A₁B₁C₁D₁ подобный многоугольнику ABCD;

Если две пирамиды с равными высотами перерезать плоскостями, параллельными основанию, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны к площадям оснований.

На рисунке изображены пирамиды

Высоты которых равны:

На одинаковых расстояниях от вершин

проведены плоскости

параллельные основаниям пирамид. Тогда

Если в двух пирамидах с равновеликими основаниями и равными высотами провести параллельные к основаниям сечения на одинаковых расстояниях от вершины, то сечения будут равновеликими.

Поверхность пирамиды.

Боковою поверхностью пирамиды называется сумма её боковых граней.

Полною поверхностью пирамиды называется сумма её боковой поверхности и площади основания.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

S_пир = S_бок + S_осн

Если треугольники, которые образуют боковую поверхность пирамиды, не равны, то для нахождения боковой поверхности пирамиды необходимо найти площадь каждого треугольника и эти площади сложить.

ЗАДАЧА:

Основанием пирамиды является квадрат, её высота проходить через одну из вершин основания. определите боковую поверхность этой пирамиды, если сторона основания равна 20 дм, а высота – 21 дм.

РЕШЕНИЕ:

Дана пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD со стороною 20 дм, высота SD = 21 дм.

Определите боковую поверхность пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней:

S_бок = S_ASD + S_DSC + S_CSB + S_BSA.

∆ASD и ∆CSD – прямоугольные и равны, а их площади

S_ASD = S_CDS = ¹/₂×20×21 = 210 (дм²).

Из этих треугольников по теореме Пифагора находим

По теореме про три перпендикуляра

SC ⊥ CB ⊥ SA ⊥ AB (DC ⊥ CB ⊥ DA ⊥ AB),

то ∆SAB и ∆SCB – прямоугольные и равные, и их площади

S_ASB = S_CSB = ¹/₂×20×29 = 290 (дм²).

тогда

S_бок = 2(290 + 210) = 1000 (дм²).

ОТВЕТ;

1000 дм² = 10 м².

ЗАДАЧА:

Основание пирамиды – квадрат со стороной 12 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 5 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть SABCD – заданная пирамида.
Основание ABCD – квадрат, АВ = 12 см. Грани SAB и SBC перпендикулярны плоскости основания. Тогда их общее ребро SB является высотой пирамиды. По условию, SB = 5 см.

Из ∆ SBА (∠ В = 90°):

Поскольку BА ⊥ АD, то по теореме о трех перпендикулярах SA ⊥ АD. Аналогично SС ⊥ DС.

∆ SBС = ∆ SBА, ∆ SАD = ∆ SСD,

(за двумя катетами).

S_б = 2S_∆_SBА + 2S_∆_SAD.

S_∆_SАD = ¹/₂ SA ∙ AD =

^= 1/₂ ∙ 13 ∙ 12 = 78 (см²).

S_∆_SBA = ¹/₂ SB ∙ AB =

^= 1/₂ ∙ 5 ∙ 12 = 30 (см²).

S_б = 2 ∙ 78 + 2 ∙ 30 = 216 см².

ОТВЕТ: 216 см²

ЗАДАЧА:

Основание пирамиды – квадрат со стороной 9 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если среднее по длине боковое ребро пирамиды равно 15 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть МABCD – заданная пирамида. Основание ABCD – квадрат,
АВ = 9 см. Грани SBA и SBC перпендикулярны плоскости основания. Тогда их общее ребро SB является высотой пирамиды и кратчайшим. Проекциями ребер SA и SC на плоскость основания являются стороны, а ребро SD – диагональ квадрата. Поскольку BD ˃ AB, то SD ˃ SA. Ребра SA и SC – средние по длине ребра пирамиды. SА = SС = 15 см. Так как ВА ⊥ АD, то по теореме о трех перпендикулярах SА⊥ АD. Аналогично SC ⊥ DC.

∆ SAD = ∆ SCD,

∆ SBC = ∆ SBA.

(за двумя катетами).

S_б = 2S_{∆ SAD} + 2S_{∆ SBA}.

S_{∆ SAD}= ¹/₂ SA ∙ AD =

= ¹/₂ ∙ 15 ∙ 9 = ¹³⁵/₂ (см²).

Из ∆ SBА (∠ В = 90°):

S_∆_SBA= ¹/₂ SB ∙ AB =

= ¹/₂ ∙ 12 ∙ 9 = 54 (см²).

S_б = 2 ∙ ¹³⁵/₂ + 2 ∙ 54 =

= 135 +108 = 243 (см²).

ОТВЕТ: 243 см²

ЗАДАЧА:

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 15 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 8 см.

РЕШЕНИЕ:

В пирамиде МABCD основание ABCD – прямоугольник,
боковые грани ABМ и СBМ перпендикулярны плоскости прямоугольника ABCD. Тогда их общее боковое ребро МВ является высотой пирамиды,

МВ = 8 см, АВ = 6 см, ВС = 15 см.

Отрезок АВ – проекция отрезка АМ на плоскость основания, АВ ⊥ AD. Тогда МА ⊥ AD. Аналогично, доказываем, что МС ⊥ AD.

Из ∆ АBМ (∠ В = 90°):

Из ∆ СBМ (∠ В = 90°):

S_{∆ ABM}= ¹/₂ AB ∙ MB = 24 (см²),

S_{∆ CBM}= ¹/₂ BC ∙ MB = 60 (см²),

S_{∆ MAD}= ¹/₂ AD ∙ MA = 75 (см²),

S_{∆ MCD}= ¹/₂ CD ∙ MC = 51 (см²).

Площадь боковой поверхности пирамиды:

S = S_∆_ABM + S_∆_CBM + S_∆_MAD + S_∆_MCD =

= 24 + 60 + 75 + 51 = 210 (см²).

ОТВЕТ: 210 см²

Решение задач по стереометрии с помощью тригонометрии.

ЗАДАЧА:

Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Боковая грань ASB перпендикулярна плоскости основания, грани ASD и BSC наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите угол наклона грани СSD к плоскости основания.

РЕШЕНИЕ:

Пусть SABCD – задана пирамида. ABCD – квадрат.
Поскольку грань ASB перпендикулярна плоскости основания, то высота SO принадлежит этой грани. OB ⊥ BС. По теореме о трех перпендикулярах SB ⊥ BС. Тогда ∠ SBO – угол наклона грани BSC к плоскости основания. Аналогично ∠ SAO – угол наклона плоскости ASD к плоскости основания. Поэтому ∠ SAO = ∠ SBO = ∠ 60°. Следовательно, треугольник ASВ равносторонний, в котором высота SO является медианой. Проведем SF ⊥ DС, тогда OF ⊥ DС, а следовательно, OF ∥ DA, OF = AD. Тогда ∠ SFO – угол наклона грани CSD к плоскости основания. Из ∆ SOA (∠ O = 90°):

Из ∆ SOF (∠ O = 90°):

ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Основанием пирамиды МABCD есть квадрат ABCD. Боковая грань BМС перпендикулярна плоскости основания, грань AМD наклонена к плоскости основания под углом 30°, грани АМВ и СМD образуют с плоскостью основания равные углы. Найдите угол наклона грани АМВ к плоскости основания.

РЕШЕНИЕ:

Пусть МABCD – данная пирамида. ABCD – квадрат.
Поскольку грань BMC перпендикулярна плоскости основания, то высота MO принадлежит этой грани. OB ⊥ AB. По теореме о трех перпендикулярах MB ⊥ AB. Тогда ∠ MBO – угол наклона грани AMB к плоскости основания. Аналогично ∠ MCO – угол наклона плоскости CMD к плоскости основания. По условию ∠ MBO = ∠ MCO, а поэтому треугольник ВМС – равнобедренный и МО является высотой и медианой. Проведем MF ⊥ AD. Тогда OF ⊥ AD, а следовательно, OF ∥ AB, OF = AB. Тогда ∠ MFO – угол наклона грани AMD к плоскости основания. По условию, ∠ МFO = 30°. Пусть АВ = а.
Из ∆ MOF (∠ O = 90°):

Откуда
Из ∆ MOB (∠ O = 90°):

Откуда
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

В треугольной пирамиде ABCD ребро

CD ⊥ AD, CD ⊥ BD, CD = 1,

двугранный угол при ребре CD равен 120°, а

AD = BD = √͞͞͞͞͞2.

Найдите величину двугранного угла при ребре АВ.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Отрезок CD перпендикулярен двум пересекающимся прямым BD и AD плоскости ABD, а значит, CD перпендикулярен плоскости ABD. ∠ ADB = 120°, ∆ ADB – равнобедренный.
Нужно найти величину двугранного угла при ребре АВ. Для этого надо найти линейный угол этого двугранного угла, а стороны линейного угла перпендикулярны АВ. Построим точку К – середину ребра АВ и соединим её с точками С и D.
D К – медиана ∆ ADB, а значит, и высота. КВ ⊥ СК.

∠ СКD – линейный угол двугранного угла при ребре АВ.

Рассмотрим треугольник DКВ, он прямоугольный, угол DВК = 30°, а против угла в 30° лежит катет равный половине гипотенузы, значит
Откуда ∠ CKD = arctg√͞͞͞͞͞2

ОТВЕТ: arctg√͞͞͞͞͞2

Задания к уроку 8

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 24 марта 2018 г.