Задание 3. Правильные многогранники

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

Правильные многогранники

 1. Правильный тетраэдр и цилиндр размещены так, что не пересекающиеся рёбра тетраэдра являются диаметрами оснований цилиндра. Найдите боковую поверхность цилиндра, если ребро тетраэдра равно  а.

 а)  3πа²;      
 б)  4πа²;     

 в)  πа²;        
 г)  2πа².

 2. Рёбра тетраэдра равны  4 см. Найдите объём тетраэдра.

 3. Ребро правильного октаэдра равно  а. Найдите радиус вписанного шара.

 4. Ребро правильного октаэдра равно  а. Найдите радиус описанного шара.

 5. Ребро правильного октаэдра равно  а. Найдите радиус шара, который касается всех рёбер данного правильного октаэдра..

 а)  ^a/₄;      
 б)  ^a/₂;     

 в)  ^a/₆;      
 г)  ^a/₃.

 6. Ребро правильного тетраэдра равно  а. Найдите радиус шара, который касается всех рёбер тетраэдра.

 7. Найдите радиус шара, вписанного в тетраэдр  ABCD, если  

AB = CD = 6, 

а каждое  из остальных его рёбер равно  √͞͞͞͞͞34.

 а)  1,4;      
 б)  1,8;     

 в)  1,2;      
 г)  1,6.

 8. Основание тетраэдра  DABC  треугольник со сторонами  

13 см, 14 см, 15 см. 

Расстояние от точки  D  до сторон треугольника основания равны  5 см. Найти расстояние от точки  D  до плоскости  ABC.

 а)  5 см;      
 б)  3 см;      

 в)  6 см;      
 г)  4 см.

 9. Найдите угол между двумя скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра.

 а)  60°;      
 б)  90°;      

 в)  30°;      
 г)  45°.

10. Вычислить объём правильного тетраэдра, если радиус окружности, описанной около его грани, равен  1.

11. Полная поверхность правильного тетраэдра равна  24√͞͞͞͞͞3 . Определите высоту тетраэдра.

 а)  4;      
 б)  2;     

 в)  6;      
 г)  5.

12. В правильном тетраэдре через сторону основания проведена плоскость, делящая объём пирамиды в отношении  2 : 3, считая от основания. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания.

Задания к уроку 18

• Задание 1
• Задание 2

Задание 2. Правильные многогранники

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

Правильные многогранники

 1. Найдите площадь поверхности правильного тетраэдра, если сторона основания равна  а.

 а)  а²√͞͞͞͞͞3;      
 б)  2а²√͞͞͞͞͞3;     

 в)  а²√͞͞͞͞͞2;      
 г)  2а²√͞͞͞͞͞2.

 2. Найдите площадь поверхности правильного тетраэдра, если апофема равна  l.

 3. Найдите площадь поверхности правильного тетраэдра, если высота равна  h.

 4. Найдите ребро октаэдра, если площадь его поверхности равна  24√͞͞͞͞͞3 см².

 а)  2√͞͞͞͞͞2 см;      
 б)  2√͞͞͞͞͞3 см;     

 в)  2√͞͞͞͞͞6 см;      
 г)  2 см.

 5. Ребро куба равно  а. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются центры граней куба.

 а)  3а²;      
 б)  4а²;     

 в)  2а²;      
 г)  а².

 6. Ребро правильного тетраэдра равно  а. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются центры граней данного тетраэдра.

 7. Ребро правильного октаэдра равно  а. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются центры граней данного октаэдра.

 а)  3а²;      
 б)  4а²;     

 в)  2а²;      
 г)  а².

 8. Найдите площадь поверхности правильного додекаэдра, ребро которого равно  m.

 9. Отрезок  ОН – высота тетраэдра  ОАВС. Выясните взаимное расположение сферы радиуса  R  с центром  О  и плоскости  АВС, если  

R = 5 дм, ОА = 45 см.

 а)  пересекаются по окружности;     

 б)  не имеют общих точек;     

 в)  нельзя определить;     

 г)  касаются.

10. Чему равен двугранный угол при ребре правильного икосаэдра ?

11. Два ребра тетраэдра равны  b, а остальные четыре ребра равны  а. Найдите объём тетраэдра, если рёбра длины  b  имеют общие точки.

12. Сечением правильного икосаэдра является правильный десятиугольник. Найдите его площадь, если ребро данного икосаэдра равно  а.

Задания к уроку 18

• Задание 1
• Задание 3

Задание 1. Объёмы подобных тел

Прежде чем приступить к решению примеров и задач, обязательно ознакомьтесь с теоретической частью урока 

Объёмы подобных тел

 1. Высота конуса равна  5 см. На расстоянии  2 см  от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен  24 см³.

 а)  325 см³;      
 б)  375 см³;     

 в)  385 см³;      
 г)  370 см³.

 2. Объём конуса равен  27. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении  2 : 1  считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

 а)  8;      
 б)  4;     

 в)  6;      
 г)  5.

 3. В усечённой пирамиде соответственные стороны оснований относятся как  2 : 5. В каком отношении делится её объём плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамида параллельно основаниям ?

 4. Чашка диаметром  8 см  и высотой  10 см  вмещает  0,5 л  воды. Каких размеров должна быть подобная чашка, вмещающая  4 л  воды ?

 а)  диаметр 14 см, высота 20 см;

 б)  диаметр 16 см, высота 22 см;     

 в)  диаметр 16 см, высота 20 см;

 г)  диаметр 18 см, высота 18 см.              

 5. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  ¹/₂  высоты. Объём жидкости равен  70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд ?

  а)  490 мл;

  б)  470 мл;     

  в)  480 мл;

  г)  495 мл.

 6. Объём конуса равен  10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

 а)  1,35;      
 б)  1,2;     

 в)  1,25;      
 г)  1,3.

 7. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  ¹/₂  высоты. Объём жидкости равен  70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд ?

 а)  480 мл;      
 б)  490 мл;     

 в)  495 мл;      
 г)  485 мл.

 8. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  ¹/₃  высоты. Объём жидкости равен  14 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху ?

 а)  362 мл;      
 б)  360 мл;     

 в)  368 мл;      
 г)  364 мл.

 9. Дано: конус, 

SО = 5 см, SО₁ = 2 см. 

Объём малого конуса равен  24 см³ (см. рисунок). Найдите объём большого конуса.

 а)  375 см³;      
 б)  385 см³;     

 в)  370 см³;      
 г)  380 см³.

10. Дано: конус, R – радиус основания, усечённый конус, r – радиус меньшего основания (см. рисунок).

Найти:

11. Радиусы оснований усечённого конуса относятся как  2 : 3. Высота конуса разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Найти в каком отношении разделился объём усечённого конуса.

 а)  127 : 162 : 217;     

 б)  127 : 168 : 219;     

 в)  123 : 168 : 217;     

 г)  127 : 168 : 217.

12. Если объёмы двух сфер относятся как  64 : 125, то площади их поверхностей относятся как ?

 а)  4 : 5;      
 б)  16 : 25;     

 в)  2 : 8;      
 г)  16 : 64.