Завдання 3. Прямі і площини у просторі

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

ПРЯМІ І ПЛОЩИНИ У ПРОСТОРІ

або

ВІДЕОУРОК

 1. З точки  В, яка лежить в одній із граней двогранного кута, зображеного на рисунку, опущено перпендикуляр  ВА  на ребро  МК  двогранного кута і перпендикуляр  ВС  на іншу грань. Знайдіть величину двогранного кута, якщо  ВС = 2√͞͞͞͞͞3  см, АС = 2 см.

 а)  30°;      
 б)  45°;     

 в)  60°;      
 г)  90°.

 2. Точка  М  лежить поза площиною трикутника  АВС. Яке взаємно розташування прямих  ВС  і  МА ?

 а)  встановити неможливо;     

 б)  паралельні;     

 в)  перетинаються;     

 г)  мимобіжні.

 3. Основа  АD  трапеції  АВСD, зображеної на рисунку, належить площині α, а основа  ВС  не належить цій площині. Точки  М  і  N – середини бічних сторін трапеції. Яке взаємно розташування прямої  М N  і площини  α ?

 а)  пряма і площина перетинаються;     

 б)  пряма і площина паралельні;     

 в)  пряма належить площині;     

 г)  встановити неможливо.

 4. Точка  А  віддалена від площини  α  на  12 см. З цієї точки проведено до площини  α  похилу  АВ  завдовжки  13 см. Знайдіть довжину проекції похилої  АВ  на площину  α.

 а)  4 см;      
 б)  5 см;     

 в)  6 см;      
 г)  9 см.              

 5. Відрізок  АВ  не перетинає площину  α, точки  А  і  В  віддалені від цієї площини на  7 см  і на  11 см  відповідно. Чому дорівнює відстань від середини відрізка  АВ  до площини  α ?

 а)  18 см;      
 б)  12 см;     

 в)  8 см;        
 г)  9 см.

 6. З точки  М  до площини  α  проведено похилі  МВ  і  МС, які утворюють з площиною кути, що дорівнюють  30°. Знайдіть відстань від точки  М  до площини  α, якщо  ∠ ВМС = 90°, а довжина відрізка  ВС дорівнює  8 см.

 а)  4√͞͞͞͞͞2;      
 б)  2√͞͞͞͞͞2;     

 в)  √͞͞͞͞͞2;        
 г)  2√͞͞͞͞͞3.

 7. З точки  М  до площини  α  проведено похилі  МN і  МК, довжини яких відносяться як  25 : 26. Знайдіть відстань від точки  М  до площини  α, якщо довжини проекцій похилих   MN і  MK  на цю площину дорівнюють  7 см  і  10 см.

 а)  12 см;      
 б)  10 см;     

 в)  20 см;      
 г)  24 см.

 8. Точка  К  знаходиться на відстані  2 см  від площина  α. Похилі  КА  і  КВ  утворюють із площиною  α  кути  45°  і  30°  відповідно, а кут між похилими дорівнює  135°. Знайдіть відстань між точками  А  і  В.

 а)  2√͞͞͞͞͞5 см;        
 б)  3√͞͞͞͞͞3 см;     

 в)  3√͞͞͞͞͞10 см;      
 г)  2√͞͞͞͞͞10 см.

 9. З точки  А  до площини  α  проведено похилі  АВ  і  АС, які утворюють з площиною кути, що дорівнюють  60°. Знайдіть відстань між точками  В  і  С, якщо  ∠ ВАС = 90°, а відстань від точки  А  до площини  α  дорівнює  3 см.

 а)  6√͞͞͞͞͞2  см;     

 б)  12√͞͞͞͞͞6  см;     

 в)  2√͞͞͞͞͞6  см;     

 г)  2√͞͞͞͞͞3  см.

10. З точки  А  до площини  α  проведено похилі  АВ  і  АС, довжини яких  15 см  і  20 см  відповідно. Знайдіть відстань від точки  А  до площини  α, якщо проекції похилих на цю площину відносяться як  9 : 16.

 а)  12 см;      
 б)  10 см;     

 в)  20 см;      
 г)  24 см.

11. Точка  А  знаходиться на відстані  9 см  від площина  α. Похилі  АВ  і  АС  утворюють із площиною  α  кути  45°  і  60°  відповідно, а кут між проекціями похилих на площину  α  дорівнює  150°. Знайдіть відстань між точками  В  і  С.

 а)  21√͞͞͞͞͞3 см;      
 б)  3√͞͞͞͞͞3 см;     

 в)  3√͞͞͞͞͞13 см;      
 г)  3√͞͞͞͞͞21 см.

12. З точки  М, віддаленої від площини  Р  на відстань  МО = 4, проведено до цієї площини похилі  МА, МВ, МС  під кутами  

30°, 45°, 60°  

до прямої  МО, перпендикулярної до площини  Р. Визначити довжину похилих  МА, МВ, МС.

Завдання до уроку 1

• Завдання 1
• Завдання 2

Завдання 2. Прямі і площини у просторі

Перш ніж приступити до рішення прикладів і завдань, обов'язково ознайомтеся з теоретичною частиною уроку

ПРЯМІ І ПЛОЩИНИ У ПРОСТОРІ

або

ВІДЕОУРОК

 1. Точка  М  віддалена від площини  α  на  15 см. З цієї точки проведено до площини  α  похилу  МК. Знайдіть довжину цієї похилої, якщо її проекція на площину  α  дорівнює  8 см.

 а)  16 см;      
 б)  17 см;     
 в)  19 см;      
 г)  23 см.

 2. Точка  М – середина відрізка  АВ, який не перетинає площину  α. точка  А  віддалена від площини  α  на  6 см, а точка  М – на  14 см. Чому дорівнює відстань від точки  В  до площини  α ?

 а)  18 см;      
 б)  20 см;     

 в)  22 см;      
 г)  24 см.

 3. Дано мимобіжні прямі  а  і  b. Скільки існує площин, які проходять через пряму  а  і паралельні прямій  b ?

 а)  одна;      
 б)  дві;     

 в)  безліч;      
 г)  жодної.

 4. Пряма  m  паралельна стороні  FK  трикутника  DFK. Яке взаємне розташування прямих  m  і  DK, якщо пряма  m  не лежить у площині  DFK ?

 а)  паралельні;     

 б)  мимобіжні;     

 в)  встановити неможливо;     

 г)  перетинаються.

 5. Пряма  а  і  b  паралельні. Як розташована пряма  а  відносно площини  α, якщо пряма  b  перетинає площину  α ?

 а)  перетинає площину  α;     

 б)  паралельна площини  α;     

 в)  належить площині  α;     

 г)  встановити неможливо.

 6. Дано паралелограм  АВСD  і площину  α, кожна з прямих  АС  і  ВD  паралельна площині  . Яке взаємно розташування прямої  АВ  і площини  α ?

 а)  пряма перетинає площину;     

 б)  пряма належить площині;     

 в)  пряма паралельна площині;     

 г)  встановити неможливо.

 7. Точка  А  лежить в одній із граней двогранного кута, зображеного на рисунку. З точки  А  опущено перпендикуляр  АВ  на ребро двогранного кута і перпендикуляр  АС  на іншу грань кута,  

АВ = 6√͞͞͞͞͞2  см, 
ВС = 6 см. 

Знайдіть величину двогранного кута.

 а)  60°;      
 б)  45°;     

 в)  30°;      
 г)  90°.

 8. Основою піраміди  МАВСD, зображеної на рисунку, є прямокутник, бічне ребро  МВ  перпендикулярне до площини основи піраміди, точка  Е – середина ребра  АD. Укажіть лінійний кут двогранного кута з ребром  АD.

 а)  ∠ MAВ;     

 б)  ∠ MЕB;     

 в)  ∠ MDВ;     

 г)  ∠ MСB.

 9.  Діагоналі паралелограма паралельні площині  α. Яке взаємне розташування площини  α  і площини паралелограма ?

 а)  збігаються;     

 б)  перетинаються;     

 в)  паралельні;     

 г)  встановити неможливо.

10. Пряма  КО  перпендикулярна до площини ромба  DLTF, зображеного на рисунку. Укажіть кут між прямою  KF  і площиною ромба.

 а)  ∠ KOF;     

 б)  ∠ KFD;     

 в)  ∠ KFO;     

 г)  ∠ KFT.

11. Яке з тверджень є правильним ?

 а)  якщо пряма в просторі перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й іншу пряму;     

 б)  якщо пряма паралельна площини, то вона паралельна будь-якій прямій цієї площини;     

 в)  якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й іншу площину;     

 г)  якщо дві прямі в просторі не перетинаються, то вони не лежать в одній площині.

12. Дано трикутник  АВС. Площина, паралельна прямій  АС, перетинає сторону  АВ  у точці  Е, а сторону  ВС – у точці  F. Яка довжина відрізка  АС, якщо точка  Е – середина сторони  АВ, точка  F – середина сторони  ВС  і  ЕF = 12 см ?

 а)  6 см;        
 б)  12 см;     

 в)  18 см;      
 г)  24 см.

Завдання до уроку 1

• Завдання 1
• Завдання 3