1. В мешке было 50 кг сахара. Его расфасовали в пакеты, по 3 кг каждый. Сколько килограммов сахара осталось в
мешке после расфасовки ?
а) 3 кг; б) 0 кг;
в) 2 кг; г) 1 кг.
2. Проволоку длиной 265
см разрезали на одинаковые куски длиной по 25 см
каждый. Сколько получилось кусков и какой длины остался кусок проволоки ?
а)10 и 15 см;
б) 9 и 15 см;
в) 10 и 5 см;
г) 11 и 5 см.
3.14 апельсинов, не разрезая их, разделили поровну
на четырёх детей. Оставшиеся апельсины поделили поровну мама с папой. Сколько
апельсинов получил каждый ребёнок, сколько – мама и сколько – папа ?
а) 2, 2, 2; б)3, 1, 1;
в) 4, 1, 1; г) 3, 2, 2.
4. У Риты было 60 к. На эти деньги она купила 4 одинаковых блокнота, и у неё осталось
ещё 8 к. Сколько стоит один блокнот ?
а) 14
коп; б) 12
коп;
в) 15
коп; г)13 коп.
5. Вымытые тарелки уложили в 12 стопок, по
20 тарелок в каждой, и остались ещё не
уложенными 9 тарелок. Сколько
всего тарелок ?
а) 240; б) 249;
в) 231; г) 349.
6. Стекольщик вырезал 50 стёкол для
8 одинаковых рам. Сколько стёкол он вырезал для
каждой рамы и сколько стёкол ещё осталось ?
а) 6
и 2; б) 5
и 5;
в) 7
и 2; г) 6
и 1.
7. 70 конфет хотят разложить в коробочки по 8 конфет в каждый. Сколько надо коробочек и сколько конфет осталось ?
а) 9
и 5; б) 7
и 6;
в) 8
и 6; г) 8
и 4.
8. Из куска железа массою 80 кг мастер должен изготовить несколько деталей
по 9
кг каждая. Сколько получится деталей и сколько
килограмм железа останется ?
а) 9
и 8; б) 8
и 8;
в) 9
и 6; г) 8
и 7.
9. Из 26 листов бумаги
девочка изготовила 3 одинаковых
блокнота, и у неё ещё осталось 2 листа. Сколько
листов бумаги пошло на изготовление каждого блокнота ?
а) 10; б) 6;
в) 12; г) 8.
10. В 7 канистрах вмещается 133 л бензина. Сколько надо таких канистр чтобы
поместить 295 л бензина ?
а) 15; б) 17;
в) 16; г) 14.
11. Сколько литров
воды даёт источник за один час, если туристы заметили, что трёхлитровая банка
заполняется водою за 18 минут ? Сколько трёхлитровых банок надо для этого
количества воды ?
а) 10
и 4; б) 9
и 4;
в) 10
и 3; г) 9
и 3.
12. На новой
соковыжималке за 24 минуты выдавили двухлитровую
банку сока. Сколько литров соку можно выжать на этой соковыжималке за 3 часа ? Сколько двухлитровых банок надо, чтобы
разлить полученный сок ?
1. Какие цифры необходимо
вставить вместо многоточия, чтобы равенство было правильным ?
3 … : 6 = … (ост. …).
а) 2, 5, 2; б) 2, 7, 1;
в) 4, 5, 2; г) 2, 5, 3.
2. Какие цифры необходимо вставить вместо
многоточия, чтобы равенство было правильным ?
… 7 : 6 = … (ост. …).
а) 3, 6, 3; б) 4, 7, 1;
в) 2, 5, 3; г) 3, 6, 1.
3. Какие цифры необходимо вставить вместо
многоточия, чтобы равенство было правильным ?
47 : … = … (ост. …).
а) 5, 9, 2; б) 5, 9, 2;
в) 5, 9, 2; г) 5, 9, 2.
4. Какой наибольший остаток может быть при
делении на 6 ?
а) 7; б) 4;
в) 5; г) 6.
5. При делении неизвестного числа на 7 получили
6 и остаток
6. Какое
неизвестное число делили ?
а) 46; б) 47;
в) 48; г) 49.
6. Вместо
многоточия вставьте такое число, чтобы равенство было правильным:
38 : … = 3 (ост. 2).
а) 10; б) 11;
в) 12; г) 13.
7. Найдите делимое, если делитель равен 14,
неполное частное – 12,
а остаток – 13.
а) 181; б) 192;
в) 171; г) 168.
8. Найдите
делимое, если делитель равен 17, неполное частное – 11, а остаток – 16.
а) 201; б) 197;
в) 213; г) 203.
9. Выберите число, при делении которого
на 5 получится
остаток 3.
а) 12; б) 44;
в) 68; г) 39.
10. В 9 коробок упаковали 153 кг печенья. Сколько понадобится таких коробок
для упаковки 455 кг печенья ?
а) 27; б) 31;
в) 26; г) 22.
11. В каждом купе
вагона поезда 4места. Какой номер купе, где едет пассажир, номер места которого 17 ?
а) 7; б) 4;
в) 6; г) 5.
12. На заводе
каждую пятнадцатую деталь проверяют на качество. Сколько деталей проверили на
качество в первой партии, если партия составляет 1000 экземпляров ?
Деление натуральных
чисел нацело не всегда возможно.
ПРИМЕР:
Нельзя разделить 30 на 7,
ибо нет такого натурального числа, которое при умножение на 7 давало бы
30.
Как видим,
разделить 30 на 7 в указанном выше смысле невозможно. Но в
жизни встречаются ситуации, которые требуют распространить деление натуральных
чисел и на такие случаи.
ПРИМЕР:
Разделить 30 тетрадей между
7 учениками
поровну.
Поэтому
рассматривают также деление
с остатком. Чтобы не смешивать деление с остатком и
рассмотренное раньше арифметическое действие деления, последнее ещё называют
делением без остатка или делением нацело.
Деление с остатком есть отыскание наибольшего целого
числа, которое в произведении с делителем даёт число, не превышающее делимого.
Деление с остатком
– это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен
нулю.
Искомое число
называется неполным
частным. Разность между делимым и произведением делителя на
неполное частное называется остатком, он всегда меньше делителя.
Деление с остатком
записывается так:
ПРИМЕР:
Читается пример следующим образом:
<<17>>
разделить на
<<3>> получится
<<5>> и остаток
<<2>>.
Порядок решения примеров на
деление с остатком.
1. Находим наибольшее число до <<17>>, которое делится на <<3>> без
остатка. Это <<15>>.
15 : 3 = 5.
2. Вычитаем из делимого найденное число из
пункта 1.
17 – 15 – 2.
3. Сравниваем остаток с делителем.
При делении с
остатком остаток всегда должен быть меньше делителя. Если получилось, что
остаток больше делителя, значит, неверно найдено наибольшее число, которое
делится на делитель без остатка.
4. Записываем ответ.
17 : 3 = 5 ост (2)
При решении более
сложных примеров не всегда можно легко найти наибольшее число, которое делится
без остатка. Иногда для этого необходимо произвести дополнительные расчёты в
столбик.
ПРИМЕР:
Разделить:
190 : 27.
РЕШЕНИЕ:
Методом подбора найдём на сколько надо умножить <<27>>, чтобы
получить ближайшее число к <<190>>.
Попробуем умножить на <<6>>.
Рассчитаем остаток и сравним его с делителем.
190 – 162 = 28,
28 ˃ 27.
Остаток больше делителя. Это значит, что <<6>> как множитель не подходит. Попробуем умножить
делитель на <<7>>.
Снова рассчитаем и сравним остаток с делителем.
190 – 189 = 1,
1 < 27.
Остаток меньше делителя. Значит пример решён верно.
ОТВЕТ:
190 : 27 = 7 ост (1)
Как проверить
деление с остатком.
1. Умножить неполное частное на делитель.
2. Прибавить к полученному результату остаток.
3. Сравнить полученный результат с делимым.
Проверим ответ
нашего примера:
190 : 27 = 7 ост (1)
1. 27 × 7 = 189.
2. 189 + 1 – 190.
3. 190 = 190.
Деление с остатком
выполнено верно.
Если при делении с
остатком делимое меньше делителя, то их неполное частное равно нулю, остаток
равен делимому.
ПРИМЕР:
6 : 10 = 0 ост (6),
14 : 112 = 0 ост (14),
31 : 45 = 0 ост (31).
Другими словами,
если Вы делите меньшее число на большее, неполное частное всегда будет равно
нулю.
ПРИМЕР:
19 не делится нацело
на 5.
Число 1, 2, 3 при умножении на 5 дают 5, 10, 15, не превосходящие делимого 19,
но уже 4 даёт в произведении с 5 число 20,
больше 19.
Поэтому неполным частным является 3,
а остатком – 4(разность
между 19 и произведением 3 × 5 = 15).
19 = 5 × 3 + 4.
Для натуральных
чисел точному делению (делению без остатка) и делению с остатком можно дать
следующее общее определение.
Разделить число
а(делимое) на число
b(делитель) – значит найти такие два числа q(частное) и r(остаток), которые удовлетворяли бы соотношениям
Если делитель b не равен нулю, то деление всегда возможно и
дает единственный результат. Остаток при делении на число b может быть любое из чисел 0, 1, 2, …, b –
1.
Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо
неполное частное умножить на делитель и к полученному произведению прибавить
остаток.
Изменение остатка.
Если делимое и делитель увеличить или умножить в одно
и то же число раз, то частное не изменится, но остаток увеличится (или
уменьшится) в то же число раз.
С помощью букв это
записывается так:
Пусть а –
делимое, b –
делитель, q –
частное, r –
остаток; тогда
a = bq + r (r < b),
am = (bm)q + rm,
a = bq + r (r < b),
a:m =
(b:m)q + (r:m).
Об этом нельзя
забывать при делении чисел, оканчивающихся нулями.
ПРИМЕР:
Деление
84100 : 400
иногда выполняют так:
В действительности же для
чисел 84100 и 400 остаток будет не 1,
а 100,
так как мы делили 841 сотню на
4 сотни и
получили 210 и в остатке
1 сотню. ПРИМЕР:
Найдите значение частного чисел
11 986и 342.
РЕШЕНИЕ:
Деление будем производить в
столбик.
Первое неполное делимое –
это 1198,
значит, в записи частного будут две цифры.
Разделим 1198 на 342.Методом
подбора найдём, на сколько надо умножить<<342>>, чтобы
получить ближайшее число к <<1198>>.
Попробуем умножить на <<3>>.
342 ∙ 3 = 1026.
1198 – 1026 = 172.
Получили остаток 172 < 342.
Значит, цифра 3 подходит, её
можно записать в частном вместо разряда десятков.
Приписываем к остатку 172 цифру 6 справа, получаем
число 1726.
Разделим 1726 на 342.Методом
подбора найдём, на сколько надо умножить<<342>>, чтобы
получить ближайшее число к <<1726>>.
Попробуем умножить на <<5>>.
342 ∙ 5 = 1710.
1726 – 1710 = 16.
Получили остаток 16 < 342.
Значит, цифра 5 подходит, её
можно записать в частном вместо разряда единиц.
Получили следующий результат.
Значение частного – 35, остаток – 16.
Теперь необходимо проверить,
верно ли выполнено решение. Если делитель умножить на значение частного и
прибавить остаток, то получится делимое.
342 ∙ 35 + 16.
Выполним
умножение в столбик.
После
этого прибавим 16 и получим
342 ∙ 35 + 16 – 11970 + 16 = 11986.
Сравним
полученный результат с делимым. Числа совпадают, значит, деление было выполнено
верно.
ОТВЕТ:
Значение частного – 35, остаток – 16.
ПРИМЕР:
Найдите значение частного чисел
423 492и 683.
РЕШЕНИЕ:
Деление будем производить в
столбик.
Первое неполное делимое –
это 4234,
значит, в записи частного будут три цифры.
Разделим 4234 на 683.Методом
подбора найдём, на сколько надо умножить<<683>>, чтобы
получить ближайшее число к <<4234>>.
Попробуем умножить на <<7>>.
683 ∙ 7 = 4781.
Но число 4781 больше чем
4234.
Значит, 7 не подходит, а частное будет меньше 7.
Проверим, подойдёт ли 6.
683 ∙ 6 = 4098,
4234 – 4098 = 136.
Получили остаток
136 < 683.
Значит, цифра 6 подходит, её можно записать в частном вместо
разряда сотен.
Образуем второе неполное
делимое 1369.
Разделим 1369 на 683.Методом
подбора найдём, на сколько надо умножить<<683>>, чтобы
получить ближайшее число к <<1369>>.
Попробуем умножить на <<2>>.
683 ∙ 2 = 1366.
1369 – 1366 = 3.
Получили остаток 3 < 683.
Значит, цифра 2 подходит, её
можно записать в частном вместо разряда десятков. Образуем следующее неполное
делимое 32.
Разделим 32 на 683. Получится
0,
значит 32 –
это и есть остаток.
Значение частного – 620, остаток – 32.
Теперь необходимо проверить,
верно ли выполнено решение. Если делитель умножить на значение частного и
прибавить остаток, то получится делимое.
683 ∙ 620 + 32.
Выполним
умножение в столбик.
После
этого прибавим 32 и получим
683 ∙ 620 + 32 = 423 460 + 32
= 423 492.
Сравним
полученный результат с делимым. Числа совпадают, значит, деление было выполнено
верно.
ОТВЕТ:
Значение частного – 620, остаток – 32.
Для
любознательных.
Правило девятки для проверки
сложения.
Для проверки
правильности выполнения сложения находят остатки от деления на 9 сумм цифр каждого слагаемого, складывают их и
результат снова делят на 9. Полученный остаток сравнивают с остатком от деления
на 9 суммы цифр
найденной суммы. Если сложение выполнено верно, остатки равны.
ПРИМЕР:
В данном примере
остатки от деления на 9 сумм цифр
слагаемых равны 7, 6, 0, 7; их сумма равна 20. Делим 20 на 9,
получаем остаток 2. А остаток от деления на
9 суммы цифр результата 11720 равен 2. Остатки равны, значит сложение выполнено верно.
Правило девятки для проверки
умножения.
Для проверки
правильности выполнения умножения находят остатки от деления на 9 сумм цифр каждого слагаемого, перемножают их
и результат снова делят на 9. Полученный остаток сравнивают с остатком от деления
на 9 суммы цифр
найденной суммы. Если умножение выполнено верно, остатки равны.
ПРИМЕР:
Здесь остатки от
деления на 9 сумм цифр сомножителей
равны 3 и 4.
Их произведение 12. Разделив 12 на 9,
получим остаток 3. Такой же остаток получается, если разделить на 9 сумму цифр числа 140286.
Следовательно, умножение выполнено верно.
Правило девятки не
всегда даёт возможность обнаружить ошибки в вычислениях. Например, если бы
вместо верного ответа 140286
получили
140376 или 142086, правило девятки не обнаружило бы ошибки, ведь остаток
от деления на 9 суммы цифр
каждого из этих чисел равны 3. Следовательно, этот способ проверки не является
достаточным.
Так как вычитание и деление есть действия,
обратные сложению и умножению, и правильность вычисления разности и частного
проверяется соответственно сложением и умножением, то правило девятки можно
применять также для контроля вычитания и деления.
