Урок 3. Складання і віднімання векторів

ВІДЕО УРОК

Першою операцією над векторами є складання векторів.

Якщо матеріальна точка перемістилася з точки  А  в точку  В, а потім з точки  В  в точку  С, то в результаті вона перейде з точки  А  в точку С.

Тому кажуть, що спрямовані відрізки

характеризують ці переміщення, складаючись, дають направлений відрізок

Це записують так:

У цьому випадку видно, що процес додавання векторів відбувається так:

кінець першого вектора

є початком другого

а сумарний вектор

з'єднує початок першого вектора і кінець другого.

Правило трикутника.

Щоб знайти суму двох векторів

треба:

– відкласти вектор

рівний

від довільної точки  С;

– відкласти вектор

рівний  b, від точки  D;

– побудувати вектор

який сполучає початок першого доданку з кінцем другого;

– вектор

є сумою векторів

ПРИКЛАД:

На малюнку

зображені:

ПРИКЛАД: 

На малюнку

зображені:

ПРИКЛАД:

Нехай, рухаючись горизонтально зі швидкістю  3 м/сек, кран піднімає ящик зі швидкістю  1 м/сек. На малюнку

 зображені в масштабі швидкість ящика щодо крана

спрямована вертикально вгору, і швидкість руху крана

напрямок якої збігається з напрямком руху крана.

сума векторів

– вектор

який зображує швидкість ящика відносно нерухомої системи відліку:

Щоб скласти ці вектори, потрібно:

1. Вибрати вихідну точку  А  (можливо, ту точку, до якої прикладена задана сила).

2. Від точки  А  відкласти вектор

3. Від точки  В  відкласти вектор

4. Побудувати вектор

Правило паралелограма для складання неколінеарних векторів. 

ПРИКЛАД:

Нехай нам дано вектори

які не колінеарні, тобто не лежать на одній прямій.

Відкладемо ці вектори від деякої точки  А, тобто

Тоді сумарний вектор відіб'ється діагоналлю паралелограма  АВСD, побудованого на векторах

Ми отримали друге правило додавання векторів – правило паралелограма.

Якщо вектори не колінеарні, то їх сума видається діагоналлю побудованого на них паралелограма.

Щоб знайти суму двох неколінеарних векторів

треба:

– відкласти від довільної точки  О  вектори

– використати ці вектори як сторони паралелограма;
– побудувати вектор

– діагональ паралелограма, що сполучає вершини  О  і  С:

шуканий вектор – сума векторів

Для будь-якого вектору

вірна рівність

Закони складання векторів. 

Переместітельний закон або коммутативность складання.

Для будь-яких векторів

Сполучний закон або асоціативність додавання.

 Для будь-яких векторів

Ця рівність справедлива для будь-яких векторів

Правило багатокутника.

З асоціативного і переместітельного законів випливає, що, складаючи будь-яке число векторів, можна як завгодно переставляти і групувати складові.

Для того, щоб скласти будь-яку кількість векторів, потрібно послідовно відкладати ці вектори так, щоб кожен наступний вектор починався від кінця попереднього. Тоді сумою усіх цих векторів буде вектор, який починається від початку першого вектору і сполучає його з кінцем останнього. Порядок складання значення не має.

ПРИКЛАД:

Щоб скласти кілька векторів, наприклад вектори

зручно побудувати векторну ламану.

Ця ламана складається з спрямованих відрізків

Вектор

з'єднує початок ламаної  ABCD  і її кінець, і є сумою

Якщо ламана вийшла замкнутої, то сума векторів дорівнює нуль-вектору,

тобто

Для будь-якого вектора

виконується рівність

ПРИКЛАД:

На малюнку

зображена сума

Можна складати в іншому порядку:

Результат при цьому буде той же.

Знаходження суми векторів за допомогою координат.

При додаванні векторів їх відповідні координати складаються. А саме, якщо

тобто

ПРИКЛАД:

Знайти суму векторів:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладання вектора на складові.

При вивченні та використанні векторів часто доводиться говорити про так званому розкладанні вектора на складові.

Складовими даного вектора називають такі вектори, сума яких дорівнює цьому вектору.

Даний вектор <<складається>> зі складових як сума доданків і розкладається на них як на складові, тому говорять про розкладанні на складові.

Нехай в площині  α  дано дві прямі  а  і  b, що перетинаються в точці О. Візьмемо який-небудь вектор

і відкладемо його від точки  О.

Якщо точка  V  не лежить ні на прямий  а, ні на прямий  b, то проведемо через точку  V  прямі

і побудуємо паралелограм  OAVB. Його діагоналлю буде відрізок  OV, а його боку  ОА  і  ОВ  лежать відповідно на прямих  а  і  b. За правилом паралелограма для додавання векторів отримаємо

Вектори

є складовими вектора

по прямім  а  і  b,

Якщо  V ∈ a, то

а складова по  b  нульова:

Аналогічно в разі, коли

Ми виконали розкладання вектора по двом пересічним прямим.

Можна розкласти вектор за двома не колінеарними векторами.

Візьмемо два не колінеарних вектора

Відкладемо їх від точки  О.

Нехай

– вектор паралельний площині  ОВС. Відкладемо його від точки  О.

Через точку  А  проведемо прямі, паралельні векторам

Тоді

Вектори

колінеарні.
Значить,

і тому

Таке уявлення вектора

через вектори

називають розкладання вектора на не колінеарні вектора.

Різниця векторів.

Введемо операцію різниці двох векторів. Ця операція вводиться так само як і для чисел.

Різницею двох векторів

являється третій вектор

який в сумі з вектором, що віднімається

дає вектор

Різницею векторів

є вектор

тобто вектор, що з’єднує кінці векторів

і напрямлений від від’ємника до зменшуваного.

ПРИКЛАД:

Побудуємо різницю двох векторів

Відкладемо від якої-небудь точки  О  дані вектори

Розглянемо вектор

Ми бачимо, що

(правило трикутника).
Вектор

буде різницею векторів

тобто

Якщо вектор

позначити через

Рівність

можна назвати правилом знаходження різниці двох векторів.

Протилежні вектори – вектори, що мають однакові довжини і протилежно спрямовані.

На малюнку

зображені два протилежних один одному вектору.

Записують їх так:

Вірно і зворотне твердження: якщо сума двох векторів дорівнює нуль-вектору, то вони протилежні.

Причому, якщо скласти протилежні вектори (за правилом трикутника), то в сумі вийде нуль-вектор, тобто

Якщо

Нуль-вектор вважається протилежним самому собі.

Різниця векторів на площині.

Координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат вектора – зменшуваного і вектора – від’ємника.

Теорема про різницю векторів.

Рівність

справедливо для будь-яких векторів

Правила віднімання векторів.

ПЕРШИЙ СПОСІБ

Для того, щоб відняти з одного вектору інший, потрібно до першого вектору додати вектор, протилежний до другого.

ПРИКЛАД:

ДРУГИЙ СПОСІБ

Для того, щоб відняти з одного вектору інший, потрібно з довільної точки площини відкласти обидва вектори, потім побудувати вектор, який починається на кінці другого вектору (від'ємника), а закінчується на кінці першого вектору (зменшуваного).

ПРИКЛАД:

ПРИКЛАД:

Нехай дані вектори

Побудувати вектор

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо довільну точку  О  і відкладемо від неї вектори

З'єднавши точку  В  з точкою  А, отримаємо вектор

За правилом трикутника для побудови суми двох векторів бачимо, що

тобто

тоді

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Нехай

Знайти вектор:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВІДПОВІДЬ:

Завдання до уроку 3

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Поняття вектора
• Урок 2. Координати вектора
• Урок 4. Добуток векторів
• Урок 5. Вектори в просторі
• Урок 6. Дії над векторами в просторі
• Урок 7. Рішення завдань за допомогою векторів
• Урок 8. Перетворення фігур