Функція f називається парною, якщо разом з кожним
значенням змінної х з області визначення f значення (–х) також входить в
область визначення цієї функції і при цьому виконується рівність
f(–x) = f(x).
Або, іншими словами:
Парної називається функція, яка не змінює свого значення при
зміні знака незалежної змінної.
Наприклад, функція
f(x) = х2 і взагалі
f(x) = х2k
при будь-якому натуральному k парна. Справді, ця функція визначена на
множині R, і отже,
область визначення містить разом з будь-яким
х и число
–х. Крім того,
f(–x) = (–х)2k
= х2k = f(x).
Графік такої функції симетричний щодо осі ординат.
Функція f називається непарною, якщо разом з кожним
значенням змінної х з області визначення f значення (–х) також входить в
область визначення цієї функції і при цьому виконується рівність
f(–x) = –f(x).
Або, іншими словами:
Непарної називається функція, яка змінює своє значення при зміні
знака незалежної змінної.
Наприклад, функція
f(x) = х3 і взагалі
f(x) = х2k+1
при будь-якому натуральному k непарна. Справді, область визначення цієї
функції – множина R,
і отже, область визначення містить разом з будь-яким х и число
–х. Крім того
f(–x) = (–х)2k+1
= –х2k+1 = –f(x).
Графік такої функції
симетричний відносно початку координат.
Індиферентної
називається функція, яка не володіє симетрією.
З тригонометричних
функцій
sin
α, tg α, ctg α і
cosec α непарні,
а cos
α і sec α парні,
тобто
sin
(–α) = –sin α;
cos
(–α) = +cos α;
tg
(–α) = –tg α;
ctg
(–α) = –ctg α;
sec
(–α) = +sec α;
cosec
(–α) = –cosec α.
Для будь-якого α точки Рα і Р-αсиметричні відносно осі
абсцис.
Звідси випливає, що їх
абсциси збігаються, а ординати протилежні. За означенням косинуса і синуса це
означає, що при будь-якому α виконується рівності
cos
α = cos (–α),
sin
(–α) = –sin α.
Для тангенса і
котангенса маємо:
Функції, які не є ні
парними, ні непарними, називаються функціями загального вигляду. Таку функцію
можна завжди єдиним чином представити у вигляді суми парної і непарної функції.
ПРИКЛАД:
Функція f(x) =
x2 – x є
сумою парному функції f1= x2і
непарної f2= –x.
Деякі властивості:
– добуток і частка двох
функцій однаковою парності – парна функція;
– добуток і частка двох
функцій різної парності – непарна функція;
– сума і різниця парних
функцій – парна функція;
– сума і різниця непарних
функцій – непарна функція.
ПРИКЛАД:
Знайти
значення тригонометричних функцій кута
α
=– π/3.
РОЗВ’ЯЗАННЯ:
Використовуючи
непарність функцій
sin
α, cosec α,
tg αи ctg
α,
отримаємо:
Використовуючи
парність функційcos αі sec
α, отримаємо:
cos
(–π/3) = cosπ/3=1/2,
sec
(–π/3) = sec π/3= 2.
ПРИКЛАД:
Знайти
значення
sin (–72°).
РОЗВ’ЯЗАННЯ:
sin (–72°) = – sin 72°
= –0,9511.
ВІДПОВІДЬ:–0,9511.
ПРИКЛАД:
Знайти
значення
соs (–108°).
РОЗВ’ЯЗАННЯ:
соs (–108°)
= соs
108° =
соs (90°
+ 18°) =
– sin 18° = –0,3090.
ВІДПОВІДЬ:–0,3090.
ПРИКЛАД:
Дослідити
на парність функцію
у
= sin х ∙ соs х.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
у(–х) = sin (–х) ∙ соs (–х) =
–sin
х ∙ соs х = –у(х).
Отже, функція
у
= sin х ∙ соs х.
є непарної.
ПРИКЛАД:
Дослідити на парність функцію:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Отже, функціяє
парної.
ПРИКЛАД:
Дослідити
на парність функцію:
у
= tg х + сtg х.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
у(–х) = tg (–х) + ctg (–х) =
–tg
х – сtg х = –(tg
х + сtg х) = –у(х).
Отже, функція
у
= tg х + сtg х.
є непарної.
ПРИКЛАД:
Дослідити
на парність функцію:
у
= x – sin х.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
у(–х) = –x – sin (–х) =
–x + sin х = –(x – sin x) = –у(х).
Отже, функція
у
= x – sin х.
є непарної.
ПРИКЛАД:
Дослідити
на парність функцію:
у
= sin х – соs х.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
у(–х) = sin (–х) – соs (–х) =
–sin
х – соs х.
у(–х) ≠у(х),
у(–х) ≠
–у(х).
Отже, функція
у
= sin х – соs х
не є ні парною, ні непарною, тобто
це функція загального вигляду.
ПРИКЛАД:
Функція f(x)
= x2 + cos x є парною, так як
f(–x)
= (–x)2 + cos(–x) =
= x2 + cos x = f(x).
ПРИКЛАД:
Довести
наступне твердження:
sin (–721°) = –sin 1°.
Так
як синус – непарна і періодична функція з мінімальним періодом 360°,
то отримаємо
sin (–721°) = –sin 721° =
= –sin (720° + 1°) = –sin 1°.
ПРИКЛАД:
Довести
наступне твердження:
cos (–13π) = –1.
Так
як косинус – парна і періодична функція з мінімальним періодом 2π,
то отримаємо
