Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 24 июля 2021 г.

Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці

ВІДЕО УРОК

При вирішенні трикутників доводиться знаходити значення тригонометричних функцій заданих кутів, а також відшукувати величини кутів по наявним значенням тригонометричних функцій цих кутів. Обидві ці завдання вирішуються за допомогою таблиць значень тригонометричних функцій, так званих натуральних таблиць.

Як користуватися таблицею Брадіса ?

Дамо короткий опис пристрою таких таблиць, наявних в книзі В. Брадіса << Чотиризначні математичні таблиці >>, і пояснимо, як ними користуватися. У книзі В. Брадіса таблиці значень тригонометричних функцій поміщені під номерами VIII, IX, X.

За допомогою таблиці VIII можна знаходити значення синусів і косинусів всіх гострих кутів, що містять ціле число градусів і хвилин, а також вирішувати зворотну задачу, тобто відшукувати кут за даним значенням його синуса або косинуса з точністю до однієї хвилини.

У цій таблиці в першому зліва стовпчику під літерою А (Arkus (Аркус) – по латині означає дуга) поміщені числа градусів, що містяться у вугіллі, а в першій верхньому рядку вказані числа хвилин у вугіллі.

Назва << синуси >> (вгорі сторінки) пов'язане з першим лівим стовпчиком таблиці і її першої верхнім рядком. Це показано на зображеної тут частини рамки таблиці VIII.

Покажемо на прикладах, як користуватися таблицями.

ПРИКЛАД:

Знайти sin 25°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На перетині рядка, що починається з 25°, і стовпчика з позначкою 0' читаємо 4226.

Це – число десятитисячних. Число ж цілих (в даному випадку 0) відзначено тільки в першій колонці кожного п'ята рядка. Тому маємо:

sin 25° ≈ 0,4226.

ВІДПОВІДЬ: sin 25° ≈ 0,4226

Тут і в подібних випадках слід ставити знак ≈, так як таблиці дають взагалі наближені значення тригонометричних функцій.

Так само просто знаходяться синуси кутів, що виражаються цілим числом градусів і числом хвилин, кратним 6.

ПРИКЛАД:

Знайти sin 25°42'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Це число знаходиться на перетині рядка з позначкою 25° зліва і стовпці з позначкою 42' зверху.

ВІДПОВІДЬ: sin 25°42' ≈ 0,4337

З розглянутої таблиці значень синусів слід, що функція sin α при зміні кута α змінюється нерівномірно. Але якщо кут α змінюється не більше ніж на 6', то можна припустити, що приріст значення sin α пропорційно збільшенню значення кута α, тобто застосувати так звану лінійну інтерполяцію. Можна довести, що помилка в остаточному результаті, відбувається завдяки такому допущенню, менш 0,0001, а при відшукання значення кута α за даним значенням sin α ця помилка не перевищує кута в 1'.

Таким чином, за таблицями В. Брадіса ми можемо вести обчислення з точністю до 4-го знака, а при знаходженні кута – з точністю до кута в 1'.

Якщо потрібна велика точність, то доводиться звертатися до інших таблиць.

ПРИКЛАД:

Знайти sin 25°20'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаходимо в таблиці синусів кутів найближчого меншого і найближчого більшого, ніж даний кут.
Маємо:

sin 25°18' ≈ 0,4274,

sin 25°24' ≈ 0,4289.

Збільшенню кута на 6' відповідає таблична різниця в

0,0015 (0,4289 – 0,4274),

а збільшенню кута в 2' відповідає приріст синуса, рівне
Цю поправку в 0,0005 треба додати до значення синуса кута sin 25°18', так як більшому куту, тобто куту sin 25°20', відповідає більший синус.
Тому отримаємо:

ВІДПОВІДЬ: sin 25°20' ≈ 0,4279

У таблицях В. Брадіса є поправки для sin α, коли α змінюється на 1', 2' і 3'. Ці поправки дані числом одиниць останнього розряду. Вони поміщені справа в останніх трьох колонках таблиці.

У наведеному вище прикладі в колонці поправок під позначкою 2', в рядку 25°, читаємо 5. Це і є та поправка, яку ми отримали шляхом обчислень.

ПРИКЛАД:

Знайти sin 14°47'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В даному випадку слід взяти з таблиці синус найближчого великого кута, тобто кута 14°48'.
Тоді маємо:

ПРИКЛАД:

Знайти sin 70°36ʹ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаходимо число градусів в крайньому лівому стовпчику таблиці, число хвилин – у верхній частині таблиці. На перетині відповідного рядка і стовпчика знаходимо шукане число 0,9432.
ВІДПОВІДЬ:

sin 70°36ʹ = 0,9432.

ПРИКЛАД:

Знайти sin 74°55ʹ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У таблиці знаходимо синус кута, найближчого до даного:

sin 74°54ʹ = 0,9655.

Потім в стовпчиках поправок (в правій частині таблиці) знаходимо поправку на 1'. Ця поправка дорівнює 0,0001. З огляду на, що з ростом кута від 0° до 90° синус також зростає, знайдену поправку додаємо. Отже, маємо:

sin 74°55ʹ = 0,9655 + 0,0001 = 0,9656.

ВІДПОВІДЬ:

sin 74°55ʹ = 0,9656.

Точно також влаштована таблиця тангенсів кутів від 0° до 76°. (Таблиця IX) і такий же порядок користування нею.

У таблиці тангенсів, починаючи з 60°, число цілих дається для тангенса кожного кута.

Таблиця значень косинусів кутів від 0° до 90° (таблиця VIII) побудована так: назва << косинуси >> вміщено внизу сторінки. До цієї назви відносяться правий (4-й від краю) стовпець з буквою А внизу (стовпець градусів) і нижня рядок з позначками хвилин. Це показано на зображеної частини рамки таблиці VIII:

ПРИКЛАД:

Знайти cos 24°18'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Це число знаходиться на перетині рядка з позначкою 24° праворуч і стовпці з позначкою 18' знизу.
ВІДПОВІДЬ: cos 24°18' ≈ 0,9114

При знаходженні косинусів кутів, які не містяться в таблиці, обчислення ведуться трохи інакше, ніж у випадку знаходження синуса кута, так як косинус гострого кута - функція спадна. В силу цього при збільшенні кута на 1', 2', 3' відповідну поправку для косинуса слід віднімати від знайденого в таблицях значення косинуса. Пояснимо це на прикладі.

ПРИКЛАД:

Знайти cos 40°25'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:

Знайти cos 62°10'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В даному випадку беремо з таблиці косинус найближчого більшого кута, тобто кута 62°12'.
Тоді маємо:

ПРИКЛАД:

Знайти соs 16°12ʹ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Число градусів шукаємо в правій частині таблиці (в стовпчику А), число хвилин – в нижній частині таблиці. На перетині відповідного рядка і стовпчика знаходимо шукане число 0,9603.
ВІДПОВІДЬ:

соs 16°12ʹ = 0,9603.

ПРИКЛАД:

Знайти соs 18°50ʹ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За таблицями знаходимо значення косинуса кута, найближчого до даного куту.

соs 18°48ʹ = 0,9466.

У стовпчику поправок знаходимо поправку на 2'. Ця поправка дорівнює 0,0002. З огляду на, що з ростом аргументу від 0° до 90° значення косинуса спадають, знайдену поправку треба відняти. Отже, маємо:

соs 18°50ʹ = 0,9466 – 0,0002 = 0,9464.

ВІДПОВІДЬ:

соs 18°50ʹ = 0,9464.

Точно так же, як таблиця значень косинусів, побудована таблиця значень котангенсів кутів від 14° до 90° (таблиця IX). Такий же і порядок користування нею.

Рішення оберненої задачі, тобто відшукання кута по заданому значенню тригонометричної функції цього кута, проводиться за допомогою тих же таблиць.

ПРИКЛАД:

Знайти кут α, якщо дано, що

sin α = 0,9037.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаходимо за таблицями число, найбільш близьке до даного,
і відповідає цьому числу кут:

sin 64°36' ≈ 0,9033.

Даний синус на 4 одиниці останнього розряду більше знайденого в таблицях. Проти поправки 4, що стоїть в останній колонці рядка 64°, вгорі читаємо 3'. На підставі цього записуємо:

Отже α = 64°39'.

ВІДПОВІДЬ: α = 64°39'

ПРИКЛАД:

Знайти кут α, якщо дано, що

соs α = 0,4501.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Отже α = 63°15'.

ВІДПОВІДЬ: α = 63°15'

ПРИКЛАД:

Знайти кут α, якщо дано, що

tg α = 1,4542.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У таблиці IX найближче до даного значення тангенса число 1,4550, більше числа 1,4542.
У такому випадку маємо:

Отже α = 55°29'.

ВІДПОВІДЬ: α = 55°29'

Таблиця X дозволяє знаходити значення тангенсів кутів від 76° до 89° 59' і котангенсів від 0°1' до 14° безпосередньо, без інтерполяції (при зміні кута в зазначених межах лінійна інтерполяція вносить помилку вже в 4-й знак, ось чому необхідно в цих випадках користуватися таблицею X). Також за допомогою цієї таблиці вирішується і зворотна задача – відшукання кута по заданому значенню тангенса або котангенс цього кута.

ПРИКЛАД:

Знайти sin 1,2610.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Користуючись таблицею, знаходимо градусне вираз кута, що містить 1,2610 радіана. Це кут 72°15'.
Тоді маємо:

sin 1,2610 = sin 72°15' = 0,9524.

ПРИКЛАД:

Знайти sin 0,0419 и tg 0,0419.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

sin 0,0419 = sin 2°24' = 0,0419,

tg 0,0419 = tg 2°24' = 0,0419,

Результати показують, що кут 2°24' настільки малий, що синус і тангенс цього кута мають однакові перші чотири десяткових знака з радіанної мірою цього кута..

ПРИКЛАД:

Дано:

соs х = 0,7600.

Знайти в радіанах кут х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку знаходимо по таблиці, що х = 40°32', а потім по таблиці

х = 0,7075.